Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
4.2. FORMA SCHUR 227<br />
Exemplul 4.2 Con<strong>si</strong>derăm matricea<br />
⎡<br />
A =<br />
⎣ 1 0 1<br />
1 5 0<br />
−1 1 −1<br />
pentru care cele trei discuri Gershgorinsunt D 1 de centru 1 şi rază1, D 2 de centru 5<br />
şirază1şiD 3 decentru-1şirază2(v. fig. 4.2), iarvalorile<strong>proprii</strong>suntλ 1 = 5.0394,<br />
λ 2,3 = −0.0197± 0.4450i. Raza spectrală este deci ρ(A) = 5.0394, inferioară e.g.<br />
normei ‖A‖ F<br />
= 5.5678.<br />
✸<br />
Teoremalui Gershgorineste utilă, de exemplu, pentru deciziile de neglijareaelementelor<br />
extradiagonale la o precizie fixată a <strong>valorilor</strong> <strong>proprii</strong> calculate în tehnicile<br />
de diagonalizareiterativăprintransformăride asemănare. Generalizărialeteoremei<br />
4.11 fac obiectul exerciţiilor 4.40 şi 4.41. Alte rezultate privind localizarea <strong>valorilor</strong><br />
<strong>proprii</strong> se pot gă<strong>si</strong> în [I], [II].<br />
⎤<br />
⎦<br />
4.2 Forma Schur<br />
Transformările de asemănare unitare, respectiv ortogonale în cazul real, prezintă<br />
marele avantaj de a conserva condiţionarea spectrului de valori <strong>proprii</strong> ale unei<br />
matrice date (v. §4.10). De aceea vom fi interesaţi în utilizarea lor exclu<strong>si</strong>vă pentru<br />
determinarea <strong>valorilor</strong> <strong>proprii</strong>. Pe de altă parte, structurile canonice, cum este<br />
formaJordan, nuse pot obţine, îngeneral, prin astfelde transformări 11 . Rezultatul<br />
principalalacestuiparagrafaratăcăoricematriceesteunitar asemeneacuomatrice<br />
triunghiulară, numită forma Schur. În acest fel este po<strong>si</strong>bilă evidenţierea <strong>valorilor</strong><br />
<strong>proprii</strong> ale unei matrice (elementele diagonale ale formei sale Schur), utilizând o<br />
secvenţă de transformări unitare de asemănare.<br />
4.2.1 Forma Schur (complexă)<br />
<strong>Calculul</strong> <strong>valorilor</strong> <strong>proprii</strong> ale unei matrice este intim legat de calculul <strong>vectorilor</strong><br />
<strong>proprii</strong> asociaţi. Dacă λ ∈ λ(A) este cunoscută, atunci vectorul propriu asociat este<br />
o soluţie nenulă a unui <strong>si</strong>stem liniar omogen. Dacă se cunoaşte un vector propriu x<br />
al matricei A, atunci valoarea proprie asociată poate fi calculată cu relaţia<br />
x H Ax<br />
x H x = xH λx<br />
x H x = λ (4.70)<br />
care, pentru x de normă euclidiană unitară, i.e. ‖x‖ = 1, devine<br />
λ = x H Ax. (4.71)<br />
Întrucât valorile <strong>proprii</strong> sunt rădăcinile unei ecuaţii algebrice, calculul lor pentru<br />
matrice de ordin superior lui patru, în absenţa cunoaşterii <strong>vectorilor</strong> <strong>proprii</strong>, este<br />
11 Matricele normale, care sunt unitar diagonalizabile (v. teorema 4.10), nu constituie un caz<br />
generic.
Change language