Calculul valorilor si vectorilor proprii

442 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
P 5.15 Elaboraţi un algoritm, similar algoritmului JQ, care să calculeze reducerea unei
matrice complexe A ∈ IC m×n laoformă superior bidiagonală reală prin transformări unitare
bilaterale.
P 5.16 Fie o matrice superior bidiagonală J ∈ IC n×n definită prin vectorul f ∈ IC n al
elementelor diagonale şi vectorul g ∈ IC n−1 al elementelor sale supradiagonale. Arătaţi
că dacă J are două valori singulare egale σ i = σ i+1, atunci f şi/sau g au cel puţin o
componentă nulă.
P 5.17 Adaptaţi algoritmul JQ pentru reducerea eficientă a unei matrice A ∈ IC n×n superior
triunghiulare la forma superior bidiagonală prin transformări unitare de echivalenţă.
[ ]
A1 A 2
P 5.18 Fie A = , unde A ∈ IC m×n , A
0 A 1 ∈ IC p×p . Elaboraţi un algoritm pentru
3
reducerea eficientă a matricei A la forma bidiagonală prin transformări unitare bilaterale.
P 5.19 Adaptaţi algoritmul JQ pentru reducerea eficientă a unei matrice A ∈ IC n×n
tridiagonale la forma superior bidiagonală prin transformări unitare de echivalenţă.
P 5.20 Fie A ∈ IC m×n , cu m < n. Elaboraţi un algoritm pentru calculul matricelor
unitare U ∈ IC m×m , V ∈ IC n×n astfel încât U H AV = [ B 0 ] cu B ∈ IC m×m superior
bidiagonală.
P 5.21 Demonstraţi că orice matrice m×n este limita unui şir de matrice m×n de rang
maximal. Interpretaţi importanţa acestui rezultat pentru practica numerică.
P 5.22 Elaboraţi un algoritm de calcul al descompunerii valorilor singulare generalizate
(DVSG) a unei perechi de matrice (A,B) ∈ IC m×n ×IC p×n date.
P 5.23 Scrieţi un algoritm de calcul simultan al rangurilor numerice a două matrice
A ∈ IC m×n şi B ∈ IC p×n date, utilizând descompunerea valorilor singulare generalizate a
perechii (A,B).
P 5.24 Elaboraţi un algoritm de calcul al descompunerii polare a unei matrice A ∈ IC m×n
date.
P 5.25 Elaboraţi un algoritm de calcul al descompunerii CS a unei matrice unitare
Q ∈ IC m×m date.
P 5.26 Se dau matricele A ∈ IC m×m , B ∈ IC n×n şi C,D ∈ IC m×n . a) Arătaţi că sistemul
de ecuaţii matriceale {
AX −YB = C
XB H −A H Y = D
are soluţie unică (X,Y) ∈ IC m×n ×IC m×n dacă şi numai dacă σ(A)∩σ(B) = ∅. b) Scrieţi
un algoritm pentru rezolvarea sistemului de mai sus.
P 5.27 Fie date matricea A ∈ IR m×n şi vectorul b ∈ IR m . a) Arătaţi că pentru orice
α > 0 problema de minimizare
{
min ‖b−Ax‖ 2 +α‖x‖ 2}
x ∈ IR n