Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 373
✻x ✛
✬✩ ❍ σ 3
1=2
IR 3 ✲
❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❥ ✬ ImA ✩= IR 2
1
✟ ✟✯ σ ✻ 2 =1
0
x
✲ 1
−→ ❄
x ✫✪
E A
2 ✫
✪
✠
✁ ✁✁✁✁✁✁✁✁✕ y 1
✻y 3
✻x 2 ☞
☞
✬✩
IR 2
✛σ 1 =2✲
★ ✥
1
✟ ✟✯ x
✲
☞ ☞☞
✁☛ ✁✕✁ σ 2=1
☞ ☞☞
1
y
−→
✲ 1
0
✫✪ ✧
✦
☞ ☞☞☞☞☞ E B
ImA T ⊂ IR 3
☞ ☞☞☞☞☞
y 2 ✠
y 2
Fig. 5.1: O interpretare geometrică a valorilor singulare
B = A T . De remarcat faptul că E A include şi punctele interioare ale elipsei în timp
ce E B cuprinde numai punctele de pe frontieră.
✸
Fie o matrice A ∈ IC m×n cu rangA = r şi DVS A = UΣV H . În continuare vom
utilizaintensivurmătoarelenotaţiicedefinescpartiţiialematricelordetransformare
U şi V induse de structura matricei Σ.
def
U 1 = U(:,1:r),
def
U 2 = U(:,r+1:m),
def
V 1 = V(:,1:r),
def
V 2 = V(:,r+1:n).
Prezentăm două consecinţe imediate ale teoremei 5.1.
(5.13)
Corolar 5.1 Orice matrice A ∈ IC m×n poate scrisă ca sumă de produse externe de
vectori singulari ponderate cu valorile singulare, i.e. cu notaţiile (5.13) avem
A = U 1 Σ 1 V H
1 =
r∑
σ j u j vj H , (5.14)
j=1
def
unde matricele W j = u j vj H
matricii A.
, j = 1:r poartă numele de componente principale ale
Corolar 5.2 Fie o matrice A ∈ IC m×n cu rangA = r. Atunci există matricele
nesingulare S ∈ IC m×m şi T ∈ IC n×n astfel încât
[ ]
Ir 0
SAT = , (5.15)
0 0