Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 301
În acest fel, corespondentele relaţiilor (4.212) sunt ecuaţiile bloc
S ii Y ij −Y ij T jj = ˜C
∑j−1
ij + T kj Y ik −
k=1
q∑
k=i+1
S ik Y kj i = 1 : p, j = 1 : q, (4.217)
i.e. ecuaţii Sylvester având matricele S ii şi T jj de dimensiuni 1×1 sau 2×2 care,
scrise explicit, reprezintă sisteme liniare determinate de ordin 1, 2 sau 4. Termenii
liberi ai acestor sisteme, i.e. matricele din membrul drept al relaţiilor (4.218), sunt
calculabili dacă rezolvarea acestor sisteme se face în ordinea j = 1,2,...,q, i =
= p,p−1,...,1.
Rezultă următorul algoritm.
Algoritmul 4.21 (BS – Algoritmul Bartels-Stewart) (Date matricele
cvasi-superior triunghiulare S ∈ IR m×m , B ∈ IR n×n cu blocurile
indexate ca în (4.216), astfel încât λ(S) ∩λ(T) = ∅ şi matricea termenilor
liberi C ∈ IR m×n , partiţionată conform cu partiţilile matricelor
S şi T, algoritmul calculează soluţia Y ∈ IR m×n a ecuaţiei Sylvester
SY −YT = C.)
1. Pentru j = 1 : q
1. Dacă j > 1 atunci
1. Pentru i = 1 : p
1. C ij = C ij + ∑ j−1
k=1 Y ikT kj .
2. Pentru i = p : −1 : 1
1. Dacă i < p atunci
1. C ij = C ij − ∑ p
k=i+1 S ikY kj .
2. Se rezolvă ecuaţia Sylvester S ii Y ij − Y ij T jj = C ij (prin
scrierea explicită şi utilizarea, e.g. a eliminării gaussiene)
Comentarii. Sintaxa de apel, cu care a algoritmul 4.21 va fi utilizat în continuare,
este
Y = BS(S,T,C).
ComplexitateaalgoritmuluiesteO(n 3 ), comparabilăcurezolvareaecuaţieiSylvester
triunghiulare cu algoritmul4.19. Concret numărul asimptotic de operaţii aritmetice
ce se efectuează este N op = 1 2 (m2 n + mn 2 ). De asemenea, proprietăţile numerice
sunt similare cu cele ale algoritmului 4.19, fiind dependente esenţial de nivelul de
separare al spectrelor celor două matrice S şi T.
✸
Revenim la rezolvarea ecuaţiei Sylvester (4.203) având matricele de date A, B
şi C reale. Fie U T AU = S şi V T BV = T formele Schur reale ale matricelor A,
respectiv B, unde matricele U ∈ IR m×m şi V ∈ IR n×n sunt ortogonale. Introducând
A = USU T şi B = VTV T în (4.203) obţinem ecuaţia
care poate fi scrisă în forma (4.215)
SU T XV −U T XVT = U T CV, (4.218)
SY −YT = ˜C, (4.219)