Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 477
actuală. Pentru adaptarea algoritmului HTQZ vom utiliza reflectori ”modificaţi”
pe care îi definim prin expresia cunoscută
V = I n − vvT
β , β = 1 2 ‖v‖2 ,
unde vectorul v se calculează astfel încât să se asigure anularea primelor n−1
elemente ale unui vector a ∈ IR n dat 16 , i.e. (Va)(1 : n−1) = 0 (şi, întrucât
reflectorul este o matrice simetrică, (a T V)(1 : n−1) = 0). Conform celor prezentate
în capitolul 3, nu este greu de văzut că elementele definitorii ale acestui reflector şi
suprascrierea vectorului a cu Va se calculează economic cu schema:
HM
1. σ = sgn(a n )‖a‖
2. v i = a i , i = 1 : n−1
3. v n = a n +σ
4. β = a n σ
5. a i = 0, i = 1 : n−1
6. a n = −σ
Vom introduce o procedură cu sintaxa
[d,v,β] = Hrm(a)
pentru calculul reflectorilor modificaţi de ordin dat de dimensiunea vectorului a
şi calculul vectorului d = Va sau d = aV după cum vectorul argument este un
vector coloană sau un vector linie. Suprascrierea (internă) a lui a cu d se face cu
apelul [a,v,β] = Hrm(a). Procedurile de premultiplicare şi postmultiplicare a unei
matrice cu un reflector modificat sunt identice cu cele care operează cu reflectorii
nemodificaţi, i.e. vom folosi procedurile Hrs şi Hrd din tabelul 4.3. De asemenea,
dacă U ∈ IR p×p este un reflector (modificat) vom nota
U (p)
k
=
⎡
⎣ I k−1 0 0
0 U 0
⎤
⎦
0 0 I n−p−k+1
care este, la rândul său, un reflector de ordinul n pe care îl vom numi reflector
(modificat) de ordin n şi indici (k,p).
Cu aceste precizări putem prezenta detaliile adaptării algoritmului HTQZ prin
următoarea schemă de calcul.
HTQZ2
1. Pentru k = 1 : n−3
1. Se calculează reflectorul modificat Z (3)
k
astfel încât
(TZ (3)
k
)(k+2,k : k+1)=0
2. H ← HZ (3)
k
% Apar două elemente nenule în poziţiile (k+3,k : k+1)
16 Prin reflectori ”nemodificaţi” vom întelege pe parcursul acestui capitol reflectorii care aplicaţi
unui vector n-dimensional anulează ultimele n−1 componente ale acestuia.