Calculul valorilor si vectorilor proprii

324 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
4. Se reface structura tridiagonală prin transformări ortogonale de
asemănare utilizând o secvenţă de rotaţii plane (o adaptare a algoritmului
de tridiagonalizare TQ).
În acest fel, se obţine o matrice succesor ortogonal asemenea cu matricea iniţială,
tridiagonală, simetrică şi cu prima coloană a matricei de transformare identică cu
prima coloană a matricei de transformare din cadrul pasului QR simetric cu deplasare
explicită. Aşa cum am menţionat mai sus, conform teoremei 4.15, dacă
matricea T este ireductibilă, i.e. vectorul g are toate elementele nenule, atunci matricea
succesor T ← T ′ este aceeaşi (v. obs. 4.6) cu matricea succesor din cadrul
pasului QR cu deplasare explicită.
Pentruascrieefectivalgoritmul,vomaduceuneleprecizăriprivitoarelapunctele
din schema de calcul de mai sus.
1. Dacă vectorul g are toate elementele nenule, atunci deplasarea µ dată de
relaţia (4.284) nu este valoare proprie a lui T (demonstraţi!) şi, prin urmare, matricea
T −µI n şi matricea superior triunghiulară R din (4.281) sunt nesingulare. În
consecinţă, din egalarea primelor coloane ale primei relaţii din (4.281), obţinem
Numim, şi aici, vectorul
⎡
q 1 = 1
r 11 ⎢
⎣
w =
t 11 −µ
t 21
0
.
0
⎤ ⎡
= 1
⎥ r
⎦ 11 ⎢
⎣
f 1 −µ
g 1
0
.
0
⎤
. (4.289)
⎥
⎦
[ ]
f1 −µ
∈ IR 2 (4.290)
g 1
vector de deplasare implicită aferent unui pas simplu QR simetric.
2. Din (4.288) şi (4.290) rezultă că elementele definitorii c 1 şi s 1 ale rotaţiei P 12
pot fi furnizate de funcţia Gr (vezi tabelul 4.3) aplicată vectorului w.
3. Se vede imediat că (P T 12 TP 12)(3,1) = (P T 12 TP 12)(1,3) = −s 1 g 2 ≠ 0, i.e.
aplicarea transformării ortogonale definite de P 12 alterează structura tridiagonală
a matricei T în poziţiile menţionate.
4. Pentru refacerea structurii tridiagonale - un invariant al şirului QR simetric
- se aplică algoritmul TQ adaptat corespunzător pentru asigurarea unei eficienţe
maxime. Concret, se utilizează o secvenţă de rotaţii care elimină elementele nenule
din afara structurii tridiagonale prin deplasarea lor de-a lungul unor trasee paralele
cu diagonala principală conform următoarei scheme de calcul.
1. Pentru k = 2 : n−1
1. Se calculează rotaţia P k,k+1 astfel încât (Pk,k+1 T T)(k +1,k −1) = 0.
2. T ← Pk,k+1 T T % Se anulează elementul (k+1,k−1) şi se alterează
(pentru k < n−1) zeroul din poziţia (k,k+2).
3. T ← TP k,k+1 % Se anulează automat (datorită simetriei) elementul
(k −1,k +1) şi se alterează (pentru k < n−1)
zeroul din poziţia (k+2,k).