Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.2. FORMA SCHUR 229
Lema 4.2 (Deflaţie unitară) Fie A ∈ IC n×n şi λ ∈ λ(A). Atunci există o matrice
unitară Q ∈ IC n×n astfel încât
[ ] λ
Q H S12
AQ = . (4.74)
0 S 22
Conform observaţiei 4.3, matricea de transformare poate fi Q = U H 1 , unde U 1 este
reflectorul (complex) care anulează elementele 2 : n ale vectorului propriu x asociat
valorii proprii λ.
Aplicarea consecventă a lemei 4.2 ne conduce la următorul rezultat important.
Teorema 4.12 (Forma Schur) Oricare ar fi matricea A ∈ IC n×n există o matrice
unitară Q ∈ IC n×n astfel încât matricea
Q H AQ = S, (4.75)
este superior triunghiulară. Elementele diagonale ale matricei S sunt valorile proprii
ale matricei A şi pot fi dispuse în orice ordine predeterminată.
Matricea S se numeşte forma Schur (FS) a matricei A, iar coloanele matricei
de transformare Q se numesc vectori Schur ai matricei A asociaţi formei Schur S.
Demonstraţie. Pasul 1 ◦ . Conform lemei 4.2, dacă λ 1 ∈ λ(A), atunci există o
matrice unitară Q 1 astfel încât
⎡ ⎤
S 1 = Q H 1 AQ 1 = ⎣ λ 1 S (1)
12
0 S (1) ⎦,
22
realizându-se o deflaţie în prima coloană.
Pasul k ◦ . Presupunem că în primii k − 1 paşi am realizat triangularizarea în
primele k −1 coloane prin transformări unitare de asemănare
S k−1 = Q H k−1 ... Q H 2 Q H 1 AQ 1 Q 2 ... Q k−1 =
⎡
⎣ S(k−1) 11 S (k−1)
12
0 S (k−1)
22
⎤
⎦,
unde S (k−1)
11 ∈ IC (k−1)×(k−1) este superior triunghiulară. Vom aplica lema 4.2 pentru
a realiza deflaţia în coloana k. Pentru aceasta, dacă λ k ∈ λ(S (k−1)
22 ), atunci există
o matrice unitară ˜Q k astfel încât
˜Q H k S(k−1) 22
˜Q k =
[
λk Ŝ (k)
12
0 S (k)
22
]
.
Acum, matricea
Q k =
[
Ik−1 0
0 ˜Qk
]
∈ IC n×n