Calculul valorilor si vectorilor proprii

408 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
2. Dacă opt 1 = ′ da ′ atunci
1. U(:,j) ↔ U(:,j +1)
3. Dacă opt 2 = ′ da ′ atunci
1. V(:,j) ↔ V(:,j +1)
4. ord = ′ nu ′
3. i ← i+1.
Comentarii. Variabila logică ord reprezintă starea procesului de ordonare şi este
familiară celor care utilizează curent algoritmul de sortare menţionat. Sintaxa de
apel a algoritmului va fi
[f,U,V ] = DVS ORD(f,U,V,opt 1 ,opt 2 ).
Evident, nuseefectueazăoperaţii aritmetice. Numărulmaximposibil decomparaţii
este 1 2n(n−1). Desigur, se pot folosi algoritmi de sortare mai sofisticaţi dar câştigul
nu este semnificativ pentru matrice de dimensiuni curente. ✸
Avându-se în vedere faptul că matricele de permutare sunt ortogonale, matricea
finală
⎡ ⎤
ˆσ 1 0 ··· 0
0 ˆσ 2 ··· 0
ˆΣ def
.
= diag(P T ,I m−n )JP =
. . .. .
0 0 ··· ˆσ n
(5.102)
⎢ . . . . ⎥
⎣ . . . . ⎦
0 0 ··· 0
împreună, cu matricele unitare Û = Udiag(P,I m−n), ˆV = VP definesc DVS calculată
a matricei iniţiale.
Cu toate precizările de mai sus şi utilizând algoritmii auxiliari introduşi, putem
prezenta algoritmul DVS în integralitatea lui.
Algoritmul 5.5 (DVSc – Descompunerea valorilor singulare)
(Date matricea A ∈ IC m×n cu m ≥ n şi nivelul de toleranţă tol, algoritmul
calculează valorile singulare ale matricei A care sunt elementele
vectorului f ∈ IR n şi opţional matricele de transformare U ∈ IC m×m
şi/sau V ∈ IC n×n , care definesc DVS a matricei A. Opţiunea se exprimă
cu ajutorul variabilelor logice opt 1 şi opt 2 care pot lua valorile ’da’ sau
’nu’. Dacănu se doreşteacumularea,atunci pentru matricearespectivă
se returnează matricea unitate de dimensiune corespunzătoare.)
1. % Cazul matricelor coloană
Dacă n = 1 atunci
1. [A,u,β] = Hc(A)
2. f = |A(1,1)|
3. U = I m , V = 1
4. Dacă opt 1 = ′ da ′ şi β ≠ 0 atunci
U = I m − u·uH
β