Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 437
7. x ∗ = Wy ∗ .
1. Se calculează soluţia λ = λ ∗ > 0 a ecuaţiei seculare
∑ rA
|c s i b i −c i d i
i=n−rB+1 i
c 2 | 2 +ρ−γ 2 = 0
i +λs2 i
utilizând, e.g. metoda Newton.
2. y ∗ i = b i
c i
3. y ∗ i = c ib i +λ ∗ s i b i
c 2 i +λ∗ s 2 i
4. y ∗ i = d i
Comentarii. Sintaxa de apel a acestui algoritm este
s i
pentru i = 1 : n−r B
pentru i = n−r B +1 : r A
pentru i = r A +1 : n
x = CMMP RPI(A,b,B,d,γ,tol).
Cititorul poate completa algoritmul cu calculul reziduului optimal r = r ∗ şi, eventual,
a normei euclidiane a acestuia.
Complexitatea algoritmului este determinată decisiv de calculul DVSG şi de
rezolvarea iterativă a ecuaţiei seculare.
✸
Observaţia 5.12 Pentru rezolvarea problemei CMMP cu restricţii pătratice tip
egalitate se procedează ca în partea a doua a deducerii algoritmului de mai sus.
Întrucâtalgoritmulcorespunzătorseobţinepracticprineliminareaunorinstrucţiuni
din algoritmul 5.10, detaliile sunt lăsate în sarcina cititorului. ✸
3. Încheiem acest paragraf, particularizând algoritmul 5.10 pentru rezolvarea
unei probleme întâlnite deseori în aplicaţii, şi anume problema CMMP cu restricţii
pătratice definite de o bilă. Concret, formularea acestei probleme se obţine considerând
în (5.162) B = I n şi d = 0, i.e. restricţia devine
X = {x|x ∈ IC n , ‖x‖ ≤ γ}. (5.194)
Înacestcaz, matriceaB fiinddiagonalădelaînceput,numaiestenecesarăutilizarea
DVSG ci este suficientă DVS a matricei A. Fie, deci, A = UΣV H DVS a matricei
A. Notând y = V H x şi ˜b = U H b, problema revine la a calcula y ∗ ∈ IC n astfel încât
să avem
‖r ∗ ‖ 2 = ‖Σy ∗ −˜b‖ 2 = min
y∈calY ‖Σy−˜b‖ 2 , Y = {y|y ∈ IC n , ‖y‖ ≤ γ}. (5.195)
Având în vedere faptul că
φ(y) def
= ‖Σy −˜b‖ 2 =
minimul absolut al funcţiei φ este
ρ =
r A
∑
i=1
|σ i y i −˜b i | 2 +
m∑
i=r A+1
m∑
i=r A+1
|˜b i | 2 , (5.196)
|˜b i | 2 (5.197)