Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 297
cu matricea necunoscutelor X ∈ IC m×n , se numeşte ecuaţie matriceală Sylvester
37 şi este echivalentă cu un sistem liniar determinat de mn ecuaţii scalare cu mn
necunoscute 38 .
Având în vedere structurarea matricei coeficienţilor acestui sistem în cele două
matrice de date A şi B este interesant şi util să exprimăm condiţiile de existenţă
şi unicitate ale soluţiei în raport cu aceste matrice şi să găsim metode specifice de
rezolvare.
Teorema de existenţă şi unicitate a soluţiei are următorul enunţ.
Teorema 4.16 Ecuaţia Sylvester (4.203) admite o soluţie X ∈ IC m×n şi această
soluţie este unic determinată dacă şi numai dacă
λ(A)∩λ(B) = ∅ 39 . (4.204)
Demonstraţie. Fie formele Schur 40 S = U H AU şi T = V H BV ale matricelor A
şi B. Avem A = USU H şi B = VTV H , expresii care, introduse în (4.203), conduc
la ecuaţia
USU H X −XVTV H = C, (4.205)
echivalentă, datorită nesingularităţii matricelor unitare U şi V, cu ecuaţia (4.203).
Notând
Y = U H XV, ˜C = U H CV, (4.206)
ecuaţia (4.205) devine
SY −YT = ˜C. (4.207)
Cu aceleaşi argumente ca mai sus, ecuaţia (4.203) admite o soluţie X şi această
soluţie este unic determinată dacă şi numai dacă ecuaţia (4.207) admite o soluţie
Y unic determinată. Dar ecuaţia matriceală (4.207) poate fi scrisă sub forma unui
sistem bloc-inferior triunghiular de mn ecuaţii cu mn necunoscute. Într-adevăr,
37 Într-un context sistemic, ecuaţia (4.203) este cunoscută sub denumirea de ecuaţie Sylvester
”continuă”, context în care ecuaţia Sylvester ”discretă” are forma AXB −X = C.
38 Dacă ˜x ∈ IC mn şi ˜c ∈ IC mn sunt vectorii definiţi, de exemplu, prin concatenarea, în ordinea naturală,
a coloanelor matricelor X şi, respectiv C, atunci sistemul de mn ecuaţii şi mn necunoscute
(4.203) poate fi scris ”explicit” sub forma
(I n ⊗A+B T ⊗I m)˜x = ˜c.
În relaţia de mai sus ⊗ este operatorul pentru produsul Kronecker a două matrice definit în felul
următor: dacă M ∈ IC p×q şi N ∈ IC r×s , atunci P def = M ⊗ N ∈ IC pr×qs este matricea având
structura bloc P = [P ij ] i=1:p,j=1:q cu P ij = m ij N.
39 Dacă (4.204) nu este satisfăcută, atunci ecuaţia Sylvester (neomogenă) (4.203) poate să
admită sau să nu admită soluţii (alternativa lui Fredholm) în raport cu matricea termenilor liberi
C. Dacă admite soluţii, atunci soluţia generală este de forma X = X p + X o, unde X p este o
soluţie particulară a ecuaţiei Sylvester neomogene (4.203), iar X o este soluţia generală a ecuaţiei
omogene AX −XB = 0. În aceasta situaţie, ecuaţia omogenă are soluţia generală Xo dependentă
de N ∑ parametri arbitrari (sau, altfel spus, admite un sistem de N soluţii liniar independente). Aici
p q
N =
i=1∑
l=1 ν il cu ν il = min(m i ,n l ) unde m i şi, respectiv, n l sunt ordinele celulelor Jordan
ale matricelor A şi, respectiv, B care au aceeaşi valoare proprie. Pentru detalii se poate consulta
referinţa [I].
40 Dacă matricele A şi B sunt reale atunci S şi, respectiv, T sunt forme Schur complexe ale
acestora.