Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 303
4.7.2 Descompunerea bloc-diagonală
Posibilitatea reducerii, prin transformări de asemănare, a unei matrice bloc-triunghiulare
la o matrice bloc-diagonală are la bază următoarea lemă.
Lema 4.5 Fie o matrice T ∈ IC n×n 2×2 superior bloc-triunghiulară
[ ]
T11 T
T = 12
, T
0 T 11 ∈ IC n1×n1 , T 22 ∈ IC n2×n2 , n 1 +n 2 = n. (4.224)
22
Dacă λ(T 11 ) ∩ λ(T 22 ) = ∅, atunci există o matrice nesingulară X ∈ IC n×n având
structura
[ ]
In1 X
X = 12
, (4.225)
0 I n2
astfel încât
D = X −1 TX =
Demonstraţie. Este simplu de constatat că
[ ]
X −1 In1 −X
= 12
0 I n2
şi, în consecinţă,
D = X −1 TX =
[ ]
T11 0
. (4.226)
0 T 22
(4.227)
[ ]
T11 T 11 X 12 −X 12 T 22 +T 12
. (4.228)
0 T 22
Conform teoremei 4.16, în condiţiile lemei, ecuaţia matriceală Sylvester continuă
T 11 X 12 −X 12 T 22 +T 12 = 0 (4.229)
admite o soluţie X 12 unic determinată. Utilizând această soluţie în definirea matricei
X aserţiunea lemei este probată evident.
✸
Lema 4.5 se generalizează imediat în următorul rezultat.
Teorema 4.17 Dacă matricea T ∈ IC n×n are o structură q × q superior bloc-triunghiulară
⎡ ⎤
T 11 T 12 ··· T 1q
0 T 22 ··· T 2q
q∑
T = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ , T ii ∈ IC ni×ni , n i = n, (4.230)
i=1
0 0 ··· T qq
şi satisface condiţiile
λ(T ii )∩λ(T jj ) = ∅, ∀i ≠ j, (4.231)
atunci există o matrice nesingulară X ∈ IC n×n având structura
⎡ ⎤
I n1 X 12 ··· X 1q
0 I n2 ··· X 2q
X = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ , (4.232)
0 0 ··· I nq