Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.10. CONDIŢIONARE 347
condiţionării unui set λ I de valori proprii se poate face în felul următor. Fie
[ ]
S = Q H S11 S
AQ = 12
(4.338)
0 S 22
forma Schur ordonată a matricei A astfel încât λ I = λ(S 11 ), λ(S 11 )∩λ(S 22 ) = ∅ şi
soluţia X ∈ IC q×(n−q) a ecuaţiei Sylvester
S 11 X −XS 22 = S 12 . (4.339)
Atunci, aşa[ cum s-a arătat ] în §4.7, transformarea de asemănare definită de matricea
T = conduce la obţinerea matricei cu structură bloc-diagonală
Iq −X
0 I n−q
T −1 ST = diag(S 11 ,S 22 ), iar proiectorul spectral pe subspaţiul S-invariant asociat
valorilor proprii λ(S 11 ), conform (4.335), este
[ ]
P = T(:,1 : q)T −1 Iq X
(1 : q, :) = . (4.340)
0 0
Rezultă
s I = 1
‖P‖ = 1
√
1+‖X‖
2 , respectiv κ I = ‖P‖ = √ 1+‖X‖ 2 . (4.341)
Avându-se în vedere dificultăţile legate de calculul normei spectrale, în pachetele
profesionale de calcul al valorilor proprii 57 , se utilizează norme matriceale mai
uşor de calculat. Astfel, în LAPACK [XV], în locul relaţiei (4.341) de calcul al
parametrului s I se foloseşte expresia
s I =
1
√
1+‖X‖
2
F
, (4.342)
care, avându-se învedererelaţiadintre normaspectralăşi normaFrobenius, dăoestimarecarediferăde
valoarearealăprintr-unfactorcelmult egalcu √ min(q,n−q).
În finalul acestui paragraf prezentăm un rezultat important care permite definirea
condiţionării spectrului unei matrice simple într-un context general.
Teorema 4.22 (Bauer-Fike) Fie o matrice diagonalizabilă A ∈ IC n×n şi V o matrice
nesingulară ale cărei coloane sunt vectori proprii ai matricei A, i.e. astfel încât
V −1 AV = Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ). Dacă E ∈ IC n×n este o matrice de perturbaţie
şi µ o valoare proprie a matricei perturbate µ ∈ λ(A+E), atunci
e(µ) = min
λ∈λ(A) |λ−µ| ≤ κ p(V)‖E‖ p
, p = 1,2,∞, (4.343)
unde κ p (V) = ‖V‖ p
‖V −1 ‖ p
este numărul de condiţionare la inversare al matricei
V a vectorilor proprii.
57 O dovadă certă de profesionalism este însăşi posibilitatea oferită utilizatorului de a-şi evalua
condiţionarea problemelor sale de calcul şi, pe această cale, nivelul probabil al erorilor.