Calculul valorilor si vectorilor proprii

258 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Comentarii. Vom utiliza următoarea sintaxă de apel a algoritmului de mai sus
[H,c,s] = IT QR1(H,w).
Complexitatea unui pas simplu QR este O(n 2 ) în ambele variante de utilizare a
deplasării. Concret, pentru execuţia algoritmului 4.5 sunt necesari N op ≈ 6n 2 flopi
complecşi, cărora le corespund N op ≈ 26n 2 flopi reali, la care se adaugă cele n−1
extrageri de radical.
Preferinţa pentru varianta cu deplasare implicită este justificată de o anume
omogenitate a demersului de calcul al valorilor proprii, ţinând seama de faptul că
în cazul matricelor reale această variantă se impune cu necesitate. ✸
E. Algoritmul QR pentru matrice complexe
Algoritmul QR pentru matrice complexe 22 se obţine prin iterarea algoritmului
4.5, anularea efectivă a elementelor subdiagonale devenite neglijabile şi exploatarea
structurală a acestor anulări în vederea obţinerii unei eficienţe maxime.
Pentru deciziile de anulare a elementelor subdiagonale criteriul uzual este de
forma (4.126), i.e.
|h i+1,i | < tol(|h ii |+|h i+1,i+1 |), (4.144)
unde scalarul tol defineşte nivelul de toleranţă şi are, în mod obişnuit, un ordin
de mărime comparabil cu eroarea de reprezentare din formatul virgulă mobilă al
maşinii ţintă. Acest criteriu îşi găseşte o fundamentare, în sensul asigurării unei
erori de evaluare a valorilor proprii de ordinul de mărime al toleranţei tol, mai
ales în situaţiile în care are loc o scalare prealabilă a matricei date (vezi § 4.4 H).
De asemenea, având în vedere faptul că testul (4.144) are o pondere importantă în
economiaalgoritmului,efectuâdu-selafiecareiteraţiepentrutoateelementelesubdiagonaleale
submatriceisuperiorHessenbergireductibile curente, încazul matricelor
complexe se obţine un spor semnificativ de eficienţă dacă se utilizează criteriul
|Reh i+1,i |+|Imh i+1,i | < tol(|Reh ii |+|Imh ii |+|Reh i+1,i+1 |+|Imh i+1,i+1 |),
(4.145)
practic echivalent cu criteriul (4.144).
Pentru monitorizarea evoluţiei structurale a matricelor din şirul QR, la fiecare
iteraţie, după anularea elementelor subdiagonale h i+1,i , care satisfac condiţia din
(4.145), se va determina cel mai mic întreg p şi cel mai mare întreg q astfel încât
matricea Hessenberg curentă să aibă structura
⎡
H = ⎣ H ⎤
11 H 12 H 13
0 H 22 H 23
⎦ }p
}n−p−q , (4.146)
0 0 H 33 }q
22 Algoritmul ce urmează se poate aplica, evident, şi matricelor reale, cu condiţia acceptării
efectuării operaţiilor aritmetice cu numere complexe. Cum o operaţie elementară cu numere complexe
implică între două şi unsprezece operaţii cu numere reale, utilizarea acestui algoritm pentru
matrice reale este ineficientă. De aceea, în cazul real se utilizează algoritmul 4.10 care operează
numai cu date reale.