Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 269
5. S(k:k+1,k:n) = Grs(c,s,S(k: k+1,k:n))
6. S(k+1,k) = 0 % Zeroul calculat devine un zero efectiv.
Comentarii. Sintaxa de apel a acestui algoritm va fi
iar complexitatea sa este O(n).
[S,c,s] = TRID2(S,k),
Cu precizările de mai sus, algoritmul QR standard cu paşi dubli cu deplasări
implicite pentru calculul formei Schur reale se scrie astfel.
Algoritmul 4.10 (QR2– Algoritmul QR cu paşi dubli, cu deplasări
implicite) (Date o matrice A ∈ IR n×n , o matrice ortogonală Q ∈ IR n×n
şi un nivel de toleranţă tol pentru anularea elementelor subdiagonale,
algoritmul calculează forma Schur reală a matricei A ← S = ˜Q T A˜Q.
Toate calculele se efectuează pe loc, în locaţiile de memorie ale tabloului
A. Opţional, se acumulează transformările prin actualizarea matricei
ortogonale Q, i.e. Q ← Q˜Q. Opţiunea se exprimă prin intermediul
variabilei logice opt de tip şir de caractere care poate lua valorile ’da’
sau ’nu’. Dacă opt = ′ nu ′ , matricea Q rămâne nemodificată.)
1. Dacă n = 1 atunci return
2. % Reducerea la forma Hessenberg
1. [A,Q] =HQr(A,Q,opt)
3. % Faza iterativă
1. p = 0, q = 0, cont it = 0
2. C^at timp q < n
1. % Anularea elementelor subdiagonale neglijabile
1. Pentru i = p+1 : n−q −1
1. Dacă |a i+1,i | ≤ tol(|a ii |+|a i+1,i+1 |) atunci
1. a i+1,i = 0
2. % Determinarea lui q
1. continuă = ′ da ′
2. C^at timp continuă = ′ da ′
1. Dacă q ≥ n−2 atunci break
2. Dacă a n−q,n−q−1 = 0
atunci
1. q ← q +1
2. cont it = 0
altfel
1. Dacă a n−q−1,n−q−2 = 0
atunci
1. q ← q +2
2. cont it = 0
altfel continuă = ′ nu ′ .
✸