Calculul valorilor si vectorilor proprii

530 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
P5.21 Fie A = UΣV H , Σ = diag(σ 1,σ 2,...,σ p), cu p = min(m,n), DVS a matricei
A . Evident, există şirurile de numere reale (γ (k)
i
) k∈IN astfel încât lim k→∞γ (k)
i
= σ i şi
γ (k)
def
i
≠ 0 pentru toţi i şi k. Dacă Γ k = diag(γ (k)
1 ,γ(k) 2 ,...,γ(k)
def
p ), şi A k = U Γ k V H , atunci
toate matricele A k sunt de rang maximal şi lim k→∞ A k = A. Aceasta înseamnă că oricât
de ”aproape” de orice matrice (inclusiv de matricea nulă) se află matrice de rang maximal.
De aici necesitatea conceptului de rang numeric în orice problemă de calcul al rangului,
afectată de erori.
P5.22 Urmaţi demonstraţia teoremei 5.4.
P5.23 Dacă(C,S) = (U H AW,V H BW)este DVSGaperechii de matrice (A,B)atunci
r A = rang(A) = rang(C) şi r B = rang(B) = rang(S), i.e. r A este numărul elementelor
diagonale nenule ale matricii C, iar r B este numărul elementelor diagonale nenule ale
matricii S. Pentru determinarea rangului numeric se poate utiliza o toleranţa pentru
neglijarea elementelor diagonale ”mici” ale matricilor C şi S (v. alg. Rang DVS).
P5.24 Utilizaţi DVS şi definiţia 5.3.
P5.25 Urmaţi demonstraţia teoremei 5.3.
P5.26 a) Utilizând DVS A = U AΣ AVA H şi B = U BΣ BVB H sistemul matriceal dat
devine echivalent cu sistemul
{
Σ A ˜X − ỸΣ B = ˜C
˜XΣ T B −Σ T AỸ = ˜D ,
unde ˜X = V H A XV B, Ỹ = U H A YU B, ˜C = U
H
A XV B, ˜D = V
H
A XU B, care la rândul său, se
poate scrie explicit sub forma a mn sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute
[
σ
(A)
i
σ (B)
j
−σ (B)
j
−σ (A)
i
] [ ]
˜xij
=
ỹ ij
[
˜cij
]
. ˜d ij
P5.27 a) Utilizând DVS A = UΣV T şi ţinând seama de conservarea normei euclidiene,
problema devine echivalentă cu problema de minimizare min y∈IR n{‖d − Σy‖2 + α‖y‖ 2 }
(evident, mult mai simplă), unde d = U T b şi y = V T x.
P5.28 0 ∈ λ(A) ⇔ detA = 0 ⇔ detA H A = 0 ⇔ 0 ∈ σ(A).
[ ] [ ]
0 1 0 0
P5.29 Nu, e.g. pentru A = , B = .
0 0 0 1
P5.30 [ a) ] Inegalitatea [ triunghiului ] pentru norma spectrală. În general nu, luaţi e.g.
1 0 0 0
A = , B = . b) Consultaţi [II].
0 0 0 1
P5.31 Proprietăţile sunt corespondentele multiplicative ale proprietăţilor aditive din
problema[ precedentă. ] a) [ Condiţia]
de consistenţă a normei spectrale. În general nu, luaţi
1 1 1 0
e.g. A = , B = . b) Consultaţi [II].
0 1 1 1
P5.32 Consultaţi [II].
P5.33 a) det(λI n − A) = λ n − ǫ, i.e. |λ i| = ǫ 1 n , ∀i ∈ 1 : n. Valorile singulare sunt
σ i = 1, i ∈ 1 : (n−1), σ n = ǫ.
P5.34 Consultaţi [II], unde veţi găsi multe alte proprietăţi interesante ale descompunerii
polare.