Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 307
Versiunea pentru date iniţiale reale – s-o numim BDr – este absolut similară,
singura diferenţă constând în utilizarea algoritmului SYLVr pentru rezolvarea
ecuaţiilor Sylvester implicate.
Complexitatea algoritmului este O(n 3 ) numărul concret de operaţii fiind dependent
de structura blocurilor diagonale. Dacă blocurile diagonale sunt toate 1×1,
atunci în cazul real N op = 2 3 n3 flopi, iar în cazul complex numărul echivalent de
flopi reali este de patru ori mai mare.
✸
Observaţia 4.8 În majoritateaaplicaţiilorcalitateaformeiboc-diagonalecalculate
de algoritmul BD este apreciată prin condiţionarea κ(X) = ‖X‖·‖X −1 ‖ a matricei
de transformare X. Dată o matrice T în formă Schur (reală), se poate formula
problema unei ordonări prealabile a acesteia şi apoi a fixării blocurilor diagonale
astfel încât să se obţină o condiţionare cât mai bună a matricei de transformare
X. Considerăm, spre exemplificare, cazul a numai două blocuri diagonale. Din
structura (4.225) şi (4.227) a matricelor X şi X −1 avem
κ F (X) = ‖X‖ F ·‖X −1 ‖ F = n+‖X 12 ‖ 2 F.
Prin urmare, condiţionarea matricei X este cu atât mai bună cu cât norma soluţiei
X 12 a ecuaţiei Sylvester (4.229) este mai mică, i.e. conform observaţiei 4.7, separareaspectrelorblocurilorT
11 şiT 22 estemaimare. Revenindlaproblemaformulată
mai sus, ordonarea formei Schur şi fixarea blocurilor diagonale trebuie făcută astfel
încât spectrele blocurilor diagonale să fie cât mai bine separate. ✸
4.7.3 Aspecte numerice privitoare la calculul
formei canonice Jordan
În cazul general, cea mai simplă structură care poate fi obţinută, prin transformări
de asemănare corespunzătoare, este aşa numita formă canonică Jordan definită în
teorema următoare.
Teorema 4.18 Oricare ar fi matricea A ∈ IC n×n există o matrice nesingulară T ∈
∈ IC n×n astfel încât
J = T −1 AT = diag(J 1 , J 2 , ..., J q ), (4.240)
unde blocurile diagonale J k se numesc celule Jordan şi sunt fie scalari J k = λ k , fie
au structura ⎡
⎤
λ k 1 ··· 0 0
. 0 λ .. k 0 0
J k =
.
⎢ . . .. . .. .
∈ IC n k×n k
. (4.241)
⎥
⎣ 0 0 ··· λ k 1 ⎦
0 0 ··· 0 λ k
Unei valori proprii multiple îi pot corespunde una sau mai multe celule Jordan.
Numărul şi dimensiunile celulelor Jordan asociate fiecărei valori proprii sunt unic
determinate, dar ordonarea blocurilor în (4.240) poate fi arbitrară.