Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 523
U H 1 y = αe 1. Notăm U H 1 X = Z =
[ ]
z11 Z 12
, U1 H Y = W =
Z 21 Z 22
[
z11
[ ]
α W12
. Din
0 W 22
]
condiţiile Xe 1 = x şi Y H X = W H Z = I n, rezultă ecuaţiile = U
Z 1x, W22Z H 22 =
21
= I n−1, W12z H 11 + W22Z H 21 = 0, care sunt satisfăcute, de exemplu, pentru Z 22 = I n−1,
W 22 = I n−1, W 12 = − 1
¯z 11
Z21. H b) Dacă λ este o valoare proprie simplă a matricei A, conform
problemei 4.9, vectorii proprii asociaţi x (la dreapta) şi y (la stânga) satisfac condiţia
y H x ≠ 0 şi se pot scala astfel încât y H x = 1. Fie matricea X şi X −1 = Y H calculate ca la
punctul a). Atunci X −1 AX =
următorul.
[ y
H
Ỹ H ]
A [ x ˜X
] =
[ λ 0
0 Ỹ H A ˜X
1. Pentru k = 1 : n−1
1. x = vp(A(k : n,k : n))
2. y = vp((A(k : n,k : n)) T ), y = ȳ
3. x = x
y H x
4. Se calculează matricele ˜X şi Ỹ (v. punctul a))
5. A(k,k) = y H A(k : n,k : n)x
6. A(k,k +1 : n) = 0, A(k +1 : n,k) = 0,
7. A(k +1 : n,k +1 : n) ← Ỹ H A(k +1 : n,k +1 : n) ˜X.
]
. Algoritmul este
P4.47 Pentru A, dacă vectorul iniţial are prima componentă nenulă, rezultatul este
±e 1, întrucât A(±e 1) = 5(±e 1) şi λ(A) = {5,2,1}. Pentru B avem λ(B) = {α,1− √ β,
1+ √ β}. Deci, B va avea o valoare proprie dominantă în următoarele situaţii: a) β ≤ 0
şi |α| > √ 1−β şi b) β > 0 şi |α| ≠ 1+ √ [ ]
β.
[ ]
−2 1
1
P4.48 Fie matricea A = şi un vector iniţial y (0) = . Atunci vectorul
0 1
0
curent generat de metoda puterii va fi y (k) = Ak y (0)
‖A k y (0) ‖ = (−1)k y (0) şi, prin urmare,
e k = ‖y (k) −y (k−1) ‖ = ‖(−1) k y (0) −(−1) k−1 y (0) ‖ = 2 pentru toţi k deşi y (0) este un vector
propriu asociat valorii proprii dominante λ 1 = −2 a matricei A (de reţinut că criteriul
utilizat în algoritmii 4.1 şi 4.2 funcţionează întrucât 1 − |(y (k) ) T y (k−1) | = 0). Evident,
situaţia de mai sus se datorează faptului că valoarea proprie dominantă este negativă şi,
deşi vectorii din şir sunt orientaţi corespunzător ca direcţie, îşi schimbă sensul la fiecare
pas. În cazul complex, vectorii proprii unitari sunt determinaţi până la o multiplicare
cu un număr complex de modul unitar, i.e. e iφ cu φ ∈ IR şi, prin urmare, este posibil
ca vectorii din şirul generat de metoda puterii să tindă către mulţimea vectorilor proprii
unitari asociaţi valorii proprii dominante deşi diferenţa dintre doi vectori consecutivi să
nu tindă către zero. Pentru metoda puterii inverse motivaţiile sunt aceleaşi.
P4.49 Se aplică sistematic lema de deflaţie unitară. Rezultă următoarea schemă de
calcul.
1. Pentru k = 1 : n−1
1. ˜x k = vp(A(k : n,k : n))
2. ˜x k = ˜x k
‖˜x k ‖
3. Se determină o matrice unitară ˜Q k astfel încât ˜Q k e 1 = ˜x k
4. A(k : n,k : n) = ˜Q H k A(k : n,k : n)
5. A(:,k : n) = A(:,k : n)˜Q k .