Calculul valorilor si vectorilor proprii

286 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Relaţia anterioară poate fi scrisă şi sub forma
(H −rz H )z = µz. (4.189)
Avem ‖rz H ‖ = ‖r‖ şi, dacă norma ‖r‖ a reziduului este mică (e.g. de ordinul
de mărime al lui ε M ‖H‖), atunci z este un vector propriu al unei matrice foarte
uşor perturbate faţă de H, ceea ce este tot ce se poate spera într-o aritmetică
aproximativă. Pentru evaluarea normei reziduului r se procedează astfel. Fie z 0
vectorul iniţial având ‖z 0 ‖ = 1 şi y soluţia sistemului
(H −µI n )y = z 0 , (4.190)
i.e. rezultatul primei iteraţii a metodei puterii inverse fără normarea acestuia.
Atunci definind vectorul succesor al lui z 0 prin normarea lui y, i.e.
obţinem
z 1 = y
‖y‖ , (4.191)
(H −µI n )z 1 = 1
‖y‖ z 0. (4.192)
Prin urmare, cu cât ‖y‖ este mai mare cu atât norma reziduului definit în (4.188)
este mai mică. De aceea putem defini ‖y‖ drept factor de creştere şi cere ca acesta
să fie superior unei valori impuse. Mecanismul de realizare a acestui deziderat este
modificarea iniţializării z 0 şi reluarea primei iteraţii (în locul continuării iteraţiilor
care nu oferă şansa îmbunătăţirii rezultatului). În [X] este propusă o strategie de
modificare a iniţializării. Pentru detalii recomandăm consultarea referinţei citate.
Încheiemacestăsecţiunesemnalândfaptulcă, înmajoritateaaplicaţiilor,vectorii
proprii pot fi supliniţi cu succes de către vectorii Schur, al căror calcul, apelând în
exclusivitate la transformări unitare (ortogonale), este mult mai fiabil.
4.6 Forma Schur ordonată.
Calculul subspaţiilor invariante
Aşacums-aarătatînsecţiunea4.1,conceptuldesubspaţiuinvariantaluneimatrice,
introdus prin definiţia 4.2, este intim legat de valorile şi vectorii proprii ale matricei
respective şi joacă un rol fundamental în tratarea operatorială a spaţiilor liniare IC n
sau IR n . În sens larg, subspaţiile invariante sunt subspaţii generate de vectori proprii.
În contextul problemelor de calcul numeric abordate în prezenta lucrare, acest
concept a fost folosit pentru a demonstra posibilitatea reducerii, prin transformări
unitare (ortogonale) de asemănare, a unei matrice la forma Schur (propoziţia 4.2 şi
lemele 4.2, 4.3).
Reciproc, cunoaşterea formei Schur şi a vectorilor Schur asociaţi permite calculul
subspaţiilor invariante asociate unor grupuri precizate de valori proprii ale
matricei iniţiale. Mai precis, prin calculul subspaţiilor invariante vom înţelege aici
determinarea unor baze ortonormale pentru acestea.