Calculul valorilor si vectorilor proprii

282 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
În cadrul acestei scheme singura problemă care necesită o tratare suplimentară este
aplicarea metodei puterii inverse în contextul unei cunoaşteri (aproape exacte) a
valorilor proprii asociate.
Prezentăm succint unele aspecte importante referitoare la cele două probleme
semnalate mai sus.
4.5.1 Calculul vectorilor proprii ai formelor Schur
Considerăm matricea n × n A complexă sau reală. Presupunem obţinute forma
Schur (reală) S şi, implicit, valorile proprii ale matricei A, precum şi vectorii Schur
definiţi de coloanele matricei de transformare unitară (ortogonală) cumulate Q.
În cazul complex, matricea S ∈ IC n×n este superior triunghiulară, iar elementele
sale diagonale sunt valorile proprii ale matricei S. Calculul vectorilorproprii pentru
matricele triunghiulare a fost tratat în capitolul 1 (algoritmul 1.23 – TRV).
În cazul real, forma Schur reală S este o matrice cvasi-superior triunghiulară.
Fie structura ⎡
S = ⎣ S ⎤
11 S 12 S 13
0 S 22 S 23
⎦ (4.176)
0 0 S 33
a matricei S, unde vom considera, pe rând, că blocul S 22 este un scalar, respectiv
o matrice 2 × 2 cu valori proprii complex conjugate, iar matricele S 11 ∈ IR n1×n1 ,
S 33 ∈ IR n3×n3 sunt cvasi-superior triunghiulare. În primul caz, dacă λ = S 22 este o
valoare proprie distinctă a matricei S, atunci orice vector de forma
⎡
u = α⎣ u ⎤
1
1 ⎦, (4.177)
0
unde u 1 este soluţia sistemului liniar cvasi-superior triunghiular
(S 11 −λI n1 )u 1 = −S 12 (4.178)
şi α un scalarrealnenul, estevectorpropriuasociatvaloriipropriiλ = S 22 . În cel de
al doilea caz, vectorii proprii asociaţi perechii de valori proprii complex conjugate
α ± iβ ale blocului S 22 se pot considera, la rândul lor, ca doi vectori complex
conjugaţi u±iv, u,v ∈ IR n . Pentru a rămâne în limitele utilizării aritmeticii reale,
în practica numerică se obişnuieşte calculul exclusiv al vectorilor reali u şi v ca
soluţie nenulă a sistemului omogen, singular, 2n-dimensional
[ ][ ] [ ]
S −αIn βI n u 0
= . (4.179)
−βI n S −αI n v 0
Presupunem că perechea de valori proprii α ± iβ este distinctă şi considerăm o
partiţie conformă ⎡
u = ⎣ u ⎤ ⎡
1
u 2
⎦, v = ⎣ v ⎤
1
v 2
⎦, (4.180)
u 3 v 3