Calculul valorilor si vectorilor proprii

470 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
HTQZ, dată de schema de calcul de mai sus, conduc la obţinerea perechii succesor
{
H ← H ′ = Q H n−1,n···QH 23 PH HZ 12 Z 23···Z n−1,n ,
(6.54)
T ← T ′ = Q H n−1,n···Q H 23P H TZ 12 Z 23···Z n−1,n ,
din şirul QZ. Perechea (H ′ ,T ′ ) suprascrie perechea (H,T), i.e. toate calculele aferente
unui pas simplu QZ cu deplasare implicită se desfăşoară pe loc, în tablourile
H şi T.
Din motive de organizare judicioasă a algoritmului QZ şi, mai ales, a algoritmului
de ordonare a formei Schur generalizate (vezi secţiunea 6.4) vom scrie o
procedură distinctă pentru calculul vectorului de deplasare implicită.
Algoritmul 6.3 (VD1 – Calculul vectorului de deplasare implicită
pentru un pas simplu QZ) (Date o pereche (H,T) ∈ IC n×n × IC n×n în
formă Hessenberg generalizată cu T nesingulară, algoritmul calculează
vectorul w ∈ IC 2 de deplasare implicită pentru un pas simplu QZ.)
1. µ = h n,n
− h n,n−1t n−1,n
t n,n t n−1,n−1 t n,n
⎡ ⎤
h 11
−µ
2. w = ⎢ t 11 ⎥
⎣ h 21
⎦
t 11
Comentarii. Sintaxa de apel a acestui algoritm va fi
iar complexitatea sa este, evident, O(1).
w = VD1(H,T),
Cu aceste precizări putem prezenta algoritmul de implementare al unui pas
simplu QZ cu deplasare implicită. Sunt utilizate proceduri cuprinse în tabelul 4.3
şi procedura Gcm, de calcul al unei rotaţii modificate, introdusă în acest capitol.
Algoritmul 6.4 (IT QZ1 - Un pas simplu QZ cu deplasare implicită)
(Date o pereche (H,T) ∈ IC n×n × IC n×n în formă Hessenberg
generalizată ireductibilă, matricele unitare Q,Z ∈ IC n×n şi vectorul de
deplasare implicită w ∈ IC 2 , algoritmul suprascrie perechea (H,T) cu
perecheasuccesor(H ′ ,T ′ ) = (Q H k HZ k,Q H k TZ k) dinşirul QZ.Opţional,
se actualizează matricele unitare de transformare Q şi Z. Opţiunea se
exprimă cu ajutorul variabilei logice opt de tipul şir de caractere care
poate lua valorile ′ da ′ sau ′ nu ′ . Dacă opt = ′ nu ′ , algoritmul returnează
matricele Q şi Z nemodificate.)
1. [w,c,s] = Gc(w)
2. H(1:2,:) = Gcs(c,s,H(1:2,:))
3. T(1:2,:) = Gcs(c,s,T(1:2,:))
4. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Q(:,1:2) = Gcd(Q(:,1:2),c,s)
✸