Calculul valorilor si vectorilor proprii

460 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
suprascrierea(internăa) lui a realizându-secu apelul [a,c,s] = Gcm(a). Cu aceste
precizări obţinem următorul algoritm.
Algoritmul 6.1 (HTQZc – Reducerea la forma Hessenberg generalizată)
(Dată o pereche (A,B) ∈ IC n×n × IC n×n , precum şi matricele
unitare Q,Z ∈ IC n×n , algoritmul calculează perechea unitar echivalentă
(A,B) ← (H,T) = (˜Q H A˜Z, ˜Q H B ˜Z) având forma superior Hessenberg
generalizată. Opţional se acumulează matricele unitare de transformare
Q ← Q˜Q,Z ← Z ˜Z. Opţiunea se exprimă prin intermediul unei variabile
logiceoptdetipulşirdecaracterecepoateluavalorile ′ da ′ sau ′ nu ′ . Dacă
opt = ′ nu ′ , algoritmul returnează matricele Q şi Z nemodificate.)
1. [B,U,b] = TUN(B)
2. Pentru k = 1 : n−1
1. A(k : n,:) = Hcs(U(k : n,k),b(k),A(k : n,:))
3. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Pentru k = n−1 : −1 : 1
1. Q(:,k : n) = Hcd(Q(:,k : n),U(k : n,k),b(k))
4. Pentru k = 1 : n−2
1. Pentru i = n : −1 : k+2
1. [A(i−1 : i,k),c,s] = Gc(A(i−1 : i,k))
2. A(i−1 : i,k+1 : n) = Gcs(c,s,A(i−1 : i,k+1 : n))
3. B(i−1 : i,i−1 : n) = Gcs(c,s,B(i−1 : i,i−1 : n))
4. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Q(:,i−1: i) = Gcd(Q(:,i−1 : i),c,s)
5. [B(i,i−1: i),c,s] = Gcm(B(i,i−1 : i))
6. A(:,i−1 : i) = Gcd(A(:,i−1 : i),c,s)
7. B(1 : i−1,i−1: i) = Gcd(B(1 : i−1,i−1: i),c,s)
8. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Z(:,i−1: i) = Gcd(Z(:,i−1 : i),c,s)
Comentarii. În acest capitol, pentru apelul algoritmului HTQZc va fi utilizată
sintaxa
[H,T,Q,Z] = HTQZc(A,B,Q,Z,opt).
Similar cu cele prezentate la calculul valorilor proprii ordinare din capitolul 4, acumularea
transformărilor se face întotdeauna prin înmulţirea la dreapta cu matricea
de transformare curentă, i.e. utilizând procedurile Hcd sau Gcd. Totuşi, dacă
iniţial Q este matricea unitate (e.g. în situaţiile în care perechea (A,B) nu provine
din prelucrări anterioare), atunci se obţine un spor important de eficienţă dacă
instrucţiunea 3 se înlocuieşte cu instruţiunea
3. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Pentru k = n−1 : −1 : 1
1. Q(k : n,k : n) = Hcs(U(k : n,k),b(k),Q(k : n,k : n))