Calculul valorilor si vectorilor proprii

More documents

Recommendations

Info

322 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII k g (k) 1 g (k) 2 0 1.00000000000000 1.00000000000000 1 0.85065080835204 −0.52573111211913 2 0.25379174838439 0.06711070517530 3 0.08564664424607 −0.00000629541717 4 0.02859558021545 0.00000000000000 5 0.00953359280112 −0.00000000000000 6 0.00317792845516 0.00000000000000 7 0.00105931186244 0 . . . 10 0.00003923378367 0 . . . 15 0.00000016145590 0 . . . 25 0.00000000000273 0 Tabelul 4.7: Date numerice privind evoluţia elementelor vectorului g din exemplul 4.5. k f (k) 1 f (k) 2 f (k) 3 0 1.00000000000000 2.00000000000000 1.00000000000000 1 2.61803398874990 1.00000000000000 0.38196601125011 2 2.96739091997935 1.02821618974253 0.00447471825954 3 2.99632557546692 1.00367442449350 0.00000000003958 4 2.99959106278125 1.00040893721875 0.00000000000000 5 2.99995455427149 1.00004544572851 0.00000000000000 . . . . 10 2.99999999923036 1.00000000076964 0.00000000000000 . . . . 15 2.99999999999999 1.00000000000001 0.00000000000000 16 3.00000000000000 1.00000000000000 0.00000000000000 . . . . 25 3.00000000000000 1.00000000000000 0.00000000000000 Tabelul 4.8: Date numerice privind evoluţia elementelor vectorului f din exemplul 4.5.
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 323 element al vectorului g (convergenţă cubică!) şi evoluţia întregii matrice T către o structură diagonală. ✸ La fel ca şi în cazul nesimetric, diminuarea modulului elementelor vectorului g are loc are loc mai rapid la cele două ”capete” (cel mai rapid în zona terminală, vezi tabelul 4.7). În cadrul unui algoritm global, iterarea schemei de calcul de mai sus se completează cu anularea efectivă a elementelor extradiagonale ale matricei curente T, i.e. ale vectorului g, atunci când acestea devin inferioare, în modul, unei toleranţe precizate. Prin urmare, pasul QR simetric de mai sus se ajustează la dimensiunea curentă a problemei, pe măsură ce se pun în evidenţă valorile proprii calculate. O modalitate concretă de gestionare a valorilor proprii calculate va fi prezentată în cadrul algoritmului QR simetric cu deplasare implicită. Un algoritm de calcul, bazat pe iterarea pasului QR simetric de mai sus, se termină, evident, în momentul în care toate elementele vectorului g au fost declarate nule. B. Un pas QR simetric cu deplasare implicită Considerăm important să subliniem de la început faptul că, spre deosebire de cazul real nesimetric, aici utilizarea variantei cu deplasare implicită nu aduce un spor de eficienţă faţă de varianta cu deplasare explicită, astfel încât preferinţa pentru deplasarea implicită poate fi justificată numai prin dorinţa asigurăriiunei omogenităţi a tratării tuturor problemelor de calcul al valorilor proprii ale matricelor reale. Varianta cu deplasare implicită a algoritmului QR simetric are la bază teorema 4.15 conform căreia transformarea ortogonală de asemănare definită de un pas QR simetric cu deplasare explicită pentru o matrice tridiagonală ireductibilă (i.e. cu toate elementele subdiagonale nenule) T ← T ′ = Q T TQ (4.287) este esenţial determinată, în sensul observaţiei 4.6, de prima coloană a matricei de transformare Q. Similar cazului deplasării explicite, vom considera matricea ortogonală de transformare Q sub forma secvenţei de rotaţii plane (4.286). Întrucât P j,j+1 e 1 = e 1 , j = 2 : n − 1, prima coloană a matricei Q este prima coloană a matricei P 12 , i.e. ⎡ ⎤ c 1 −s 1 ⎢ 0 ⎥ q 1 = Qe 1 = P 12 e 1 = ⎢ ⎣ . 0 . (4.288) ⎥ ⎦ La fel ca în cazul nesimetric, un pas QR simetric cu deplasare implicită va consta din următoarele transformări. 1. Se calculează prima coloană q 1 a matricei de transformare Q din pasul QR simetric cu deplasare explicită. 2. Se determină rotaţia P 12 ce satisface (4.288). 3. Se calculează matricea T ← P T 12 TP 12 în care este alterată structura tridiagonală în poziţiile (3,1) şi (1,3) dar se conservă simetria.
Page 1 and 2:
Capitolul 4 Calculul valorilor şi
Page 3 and 4:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 211 În a
Page 5 and 6:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 213 Exemp
Page 7 and 8:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 215 În c
Page 9 and 10:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 217 Pasul
Page 11 and 12:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 219 Demon
Page 13 and 14:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 221 de un
Page 15 and 16:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 223 Teore
Page 17 and 18:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 225 unita
Page 19 and 20:
4.2. FORMA SCHUR 227 Exemplul 4.2 C
Page 21 and 22:
4.2. FORMA SCHUR 229 Lema 4.2 (Defl
Page 23 and 24:
4.2. FORMA SCHUR 231 unde S 11 ∈
Page 25 and 26:
4.3. METODA PUTERII. METODA PUTERII
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
4.4. ALGORITMUL QR 239 4.4 Algoritm
Page 33 and 34:
4.4. ALGORITMUL QR 241 4.4.1 Reduce
Page 35 and 36:
4.4. ALGORITMUL QR 243 prezentări
Page 37 and 38:
4.4. ALGORITMUL QR 245 i.e. H k+1
Page 39 and 40:
4.4. ALGORITMUL QR 247 Într-adevă
Page 41 and 42:
4.4. ALGORITMUL QR 249 Se observă
Page 43 and 44:
4.4. ALGORITMUL QR 251 B. Strategia
Page 45 and 46:
4.4. ALGORITMUL QR 253 Teorema 4.15
Page 47 and 48:
4.4. ALGORITMUL QR 255 nesingulară
Page 49 and 50:
4.4. ALGORITMUL QR 257 Hessenberg a
Page 51 and 52:
4.4. ALGORITMUL QR 259 cu H 11 ∈
Page 53 and 54:
4.4. ALGORITMUL QR 261 4. [A(k : l,
Page 55 and 56:
4.4. ALGORITMUL QR 263 not Consider
Page 57 and 58:
4.4. ALGORITMUL QR 265 ⎡ H ← HU
Page 59 and 60:
4.4. ALGORITMUL QR 267 structurală
Page 61 and 62:
4.4. ALGORITMUL QR 269 5. S(k:k+1,k
Page 63 and 64: 4.4. ALGORITMUL QR 271 4. % Triangu
Page 65 and 66: 4.4. ALGORITMUL QR 273 elementelor
Page 67 and 68: 4.4. ALGORITMUL QR 275 rotunjire ş
Page 69 and 70: 4.4. ALGORITMUL QR 277 sau ( ρ ki
Page 71 and 72: 4.4. ALGORITMUL QR 279 2. Pentru i
Page 73 and 74: 4.5. CALCULUL VECTORILOR PROPRII 28
Page 79 and 80: 4.6. CALCULUL SUBSPAŢIILOR INVARIA
Page 89 and 90: 4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 297 cu m
Page 91 and 92: 4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 299 Algo
Page 93 and 94: 4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 301 În
Page 95 and 96: 4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 303 4.7.
Page 97 and 98: 4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 305 atun
Page 99 and 100: 4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 307 Vers
Page 101 and 102: 4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 309 O pr
Page 103 and 104: 4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 311 În
Page 105 and 106: 4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 313 rezu
Page 107 and 108: 4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 315 seo
Page 109 and 110: 4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 317 Not
Page 111 and 112: 4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 319 mul
Page 113: 4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 321 3.
Page 117 and 118: 4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 325 Pen
Page 119 and 120: 4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 327 tri
Page 121 and 122: 4.9. METODE ALTERNATIVE 329 egalit
Page 123 and 124: 4.9. METODE ALTERNATIVE 331 supunem
Page 125 and 126: 4.9. METODE ALTERNATIVE 333 Demonst
Page 127 and 128: 4.9. METODE ALTERNATIVE 335 BISECT
Page 129 and 130: 4.9. METODE ALTERNATIVE 337 operaţ
Page 131 and 132: 4.9. METODE ALTERNATIVE 339 ❅ ❅
Page 133 and 134: 4.9. METODE ALTERNATIVE 341 1. Dac
Page 135 and 136: 4.10. CONDIŢIONARE 343 ne propunem
Page 137 and 138: 4.10. CONDIŢIONARE 345 constată i
Page 139 and 140: 4.10. CONDIŢIONARE 347 condiţion
Page 141 and 142: 4.10. CONDIŢIONARE 349 Pentru p =
Page 143 and 144: 4.10. CONDIŢIONARE 351 F = A+E, cu
Page 145 and 146: 4.10. CONDIŢIONARE 353 subspaţiul
Page 147 and 148: 4.10. CONDIŢIONARE 355 În particu
Page 149 and 150: 4.11. STABILITATE NUMERICĂ 357 de
Page 151 and 152: 4.12. RUTINE LAPACK ŞI MATLAB 359
Page 153 and 154: 4.13. PROBLEME 361 P 4.8 Fie λ 1,
Page 155 and 156: 4.13. PROBLEME 363 P 4.25 Demonstra
Page 157 and 158: 4.13. PROBLEME 365 P 4.43 Fie matri
Page 159 and 160: 4.13. PROBLEME 367 P 4.59 Adaptaţi
Page 161 and 162: Capitolul 5 Descompunerea valorilor
Page 163 and 164: 5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 371 Demon
Page 165 and 166:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 373 ✻x
Page 167 and 168:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 375 Prin
Page 169 and 170:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 377 unde
Page 171 and 172:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 379 În s
Page 173 and 174:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 381 rela
Page 175 and 176:
5.2. PROBLEME DE CALCUL CONEXE 383
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
5.3. ALGORITMUL DVS 393 5.3 Algorit
Page 187 and 188:
5.3. ALGORITMUL DVS 395 utilizaţi
Page 189 and 190:
5.3. ALGORITMUL DVS 397 Comentarii.
Page 191 and 192:
5.3. ALGORITMUL DVS 399 condiţia d
Page 193 and 194:
5.3. ALGORITMUL DVS 401 ⎡ J ← U
Page 195 and 196:
5.3. ALGORITMUL DVS 403 Având în
Page 197 and 198:
5.3. ALGORITMUL DVS 405 suprascrier
Page 199 and 200:
5.3. ALGORITMUL DVS 407 5. Dupăîn
Page 201 and 202:
5.3. ALGORITMUL DVS 409 5. Dacă op
Page 203 and 204:
5.4. CONDIŢIONARE 411 opt 1 opt 2
Page 205 and 206:
5.4. CONDIŢIONARE 413 Demonstraţi
Page 207 and 208:
5.5. STABILITATEA ALGORITMULUI DVS
Page 209 and 210:
5.6. APLICAŢIILE DVS 417 problema
Page 211 and 212:
5.6. APLICAŢIILE DVS 419 urmare,
Page 213 and 214:
5.6. APLICAŢIILE DVS 421 şi de un
Page 215 and 216:
5.6. APLICAŢIILE DVS 423 x, i.e. (
Page 217 and 218:
5.6. APLICAŢIILE DVS 425 [ (A(i,:)
Page 219 and 220:
5.6. APLICAŢIILE DVS 427 minimul a
Page 221 and 222:
5.6. APLICAŢIILE DVS 429 5.6.4 Pro
Page 223 and 224:
5.6. APLICAŢIILE DVS 431 Problema
Page 225 and 226:
5.6. APLICAŢIILE DVS 433 Prin urma
Page 227 and 228:
5.6. APLICAŢIILE DVS 435 se obţin
Page 229 and 230:
5.6. APLICAŢIILE DVS 437 7. x ∗
Page 231 and 232:
5.6. APLICAŢIILE DVS 439 2. Se cal
Page 233 and 234:
5.8. PROBLEME 441 Dar ale matricei
Page 235 and 236:
5.8. PROBLEME 443 are o soluţie un
Page 237 and 238:
Capitolul 6 Calculul valorilor şi
Page 239 and 240:
6.1. FORMULAREA PROBLEMEI 447 ( [ ]
Page 241 and 242:
6.1. FORMULAREA PROBLEMEI 449 Propr
Page 243 and 244:
6.2. FORMA SCHUR GENERALIZATĂ 451
Page 245 and 246:
6.2. FORMA SCHUR GENERALIZATĂ 453
Page 247 and 248:
6.3. ALGORITMUL QZ 455 6.3 Algoritm
Page 249 and 250:
6.3. ALGORITMUL QZ 457 ⎡ (A,B)
Page 251 and 252:
6.3. ALGORITMUL QZ 459 În cazul re
Page 253 and 254:
6.3. ALGORITMUL QZ 461 i.e. acumula
Page 255 and 256:
6.3. ALGORITMUL QZ 463 (H,T)←((Q
Page 257 and 258:
6.3. ALGORITMUL QZ 465 5. Dacă opt
Page 259 and 260:
6.3. ALGORITMUL QZ 467 construcţia
Page 261 and 262:
6.3. ALGORITMUL QZ 469 Această sch
Page 263 and 264:
6.3. ALGORITMUL QZ 471 5. Pentru k
Page 265 and 266:
6.3. ALGORITMUL QZ 473 2. % Determi
Page 267 and 268:
6.3. ALGORITMUL QZ 475 2. Se determ
Page 269 and 270:
6.3. ALGORITMUL QZ 477 actuală. Pe
Page 271 and 272:
6.3. ALGORITMUL QZ 479 (H,T)←(HZ
Page 273 and 274:
6.3. ALGORITMUL QZ 481 6. H(:,n−2
Page 275 and 276:
6.3. ALGORITMUL QZ 483 Algoritmul 6
Page 277 and 278:
6.3. ALGORITMUL QZ 485 perechea (S,
Page 279 and 280:
6.4. CALCULUL SUBSPAŢIILOR DE DEFL
Page 281 and 282:
Page 283 and 284:
Page 285 and 286:
Page 287 and 288:
Page 289 and 290:
6.6. STABILITATEA ALGORITMULUI QZ 4
Page 291 and 292:
6.8. PROBLEME 499 cu α, β paramet
Page 293 and 294:
Indicaţii, răspunsuri, soluţii C
Page 295 and 296:
INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 5
Page 297 and 298:
Page 299 and 300:
Page 301 and 302:
Page 303 and 304:
Page 305 and 306:
Page 307 and 308:
Page 309 and 310:
Page 311 and 312:
Page 313 and 314:
Page 315 and 316:
Page 317 and 318:
Page 319 and 320:
Page 321 and 322:
Page 323 and 324:
Page 325 and 326:
Bibliografie [1] J.O. Aasen. On the
Page 327 and 328:
BIBLIOGRAFIE 535 [31] S. Haykin. Ad
Page 329 and 330:
Index acurateţe, 13 algoritmi la n
Page 331 and 332:
INDEX 539 hermitică, 49, 215 Hesse
Page 333:
INDEX 541 a algoritmului QR, 356 a
show all

Calculul valorilor si vectorilor proprii

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?