Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 221
de unde, în acest subspaţiu,
min x H Ax ≥ λ k (4.41)
x ∈ V S
egalitatea obţinându-se pentru z = [0 ··· 0 1] T . Prima egalitate din (4.33) este
demonstrată. Demonstraţia celei de a doua egalităţi (4.33) urmează aceleaşi idei.
Întrucât dimW = n−k, există un vector x ∈ W S astfel încât vectorul y = Q H x are
componentele k+1 : n nule (demonstraţi!). Pentru această alegere a lui x avem o
relaţie de forma (4.40)
de unde rezultă
k−1
∑
µ(x) = x H Ax = y H Λy = (λ j −λ k )|y (j) | 2 +λ k ≥ λ k , (4.42)
j=1
max x H Ax ≥ λ k . (4.43)
x ∈ W S
Cum subspaţiul (n−k)-dimensional W a fost arbitrar, rezultă că inegalitatea (4.43)
are loc în toate subspaţiile de această dimensiune sau, altfel spus,
min
dimV = k
max x H Ax ≥ λ k . (4.44)
x ∈ W S
Adăugând faptul că marginea din (4.44) se atinge efectiv în subspaţiul W = ImQ ′′
k ,
cea de a doua egalitate (4.33), şi o dată cu ea întreaga teoremă, sunt complet
demonstrate.
✸
Teorema Courant – Fisher este importantă, în contextul calculatoriu al acestei
lucrări, prin consecinţele sale, dintre care câteva sunt prezentate în continuare.
Notăm A [k] def
= A(1:k,1:k) submatricele lider principale de ordinul k ale matricei
hermitice A ∈ IC n×n , care sunt la rândul lor, evident, hermitice. Presupunem
că spectrele λ(A [k] ) = {λ [k]
1 ,λ[k] 2 ,...,λ[k] k
} (evident, reale) ale submatricelor lider
principale sunt, şi ele, ordonate descrescător, i.e.
λ [k]
1 ≥ λ [k]
2 ≥ ... ≥ λ [k]
k . (4.45)
Teorema 4.5 (Teoremade separare) Valorile proprii ale submatricelor lider principale
de ordinul k ale unei matrice hermitice separă valorile proprii ale submatricelor
lider principale de ordinul k +1, i.e.
λ [k+1]
1 ≥ λ [k]
1 ≥ λ [k+1]
2 ≥ λ [k]
2 ≥ ... ≥ λ [k]
k−1 ≥ λ[k+1] k
≥ λ [k]
k ≥ λ[k+1] k+1 , (4.46)
pentru toţi k ∈ 1 : n−1.
Demonstraţie. Este suficient să considerăm cazul k = n−1. Pentru simplificarea
notaţiilor, fie λ ′ def
i = λ [n−1]
i , i = 1 : n−1. Cu aceste notaţii, este suficient să dovedim
inegalităţile
λ i ≥ λ ′ i ≥ λ i+1 , i = 1 : n−1. (4.47)