Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.3. ALGORITMUL DVS 393
5.3 Algoritmul DVS
După cum s-a precizat, valorile singulare ale matricei A ∈ IC m×n sunt rădăcinile
pătrate nenegative ale valorilor proprii ale uneia dintre matricele hermitice pozitiv
semidefiniteB = A H AsauC = AA H (veziteorema5.2). Maimult, existăconexiuni
importante [ dintre ] DVS a[ matricei A]
şi forma Schur a matricelor hermitice F =
0 A
H 0 A
= sau G =
A 0 A H (vezi propoziţia 5.1). Natural, în cazul real,
0
conjugarea nu are nici un efect, astfel că matricele B = A T A, C = AA T sunt
simetrice, pozitiv semidefinite, iar matricele F şi G simetrice.
Teorema 5.2 sugerează o posibilitate de calcul a valorilor singulare ale unei matrice
A calculând valorile proprii ale uneia dintre matricele B, C, F sau G, cu
ajutorul algoritmului QR simetric. Într-o astfel de abordare, determinarea matricelor
unitare (în cazul real, ortogonale) U şi V se poate face conform indicaţiilor
din observaţia 5.3.
Totuşi, calculul explicit al matricelor B sau C poate conduce la o pierdere de
informaţie, după cum se poate vedea din exemplul următor.
Exemplul 5.3 Fie matricea
⎡
A = ⎣
1 1
0.001 0
0 0.001
având valorile singulare σ(A) = { √ 2.000001,0.001}. Avem
[ ] 1.000001 1
B = A T A =
.
1 1.000001
Într-un format virgulă mobilă având mantisa cu mai puţin de 7 cifre zecimale,
matricea B este reprezentată prin
[ ] 1 1 ˆB = ,
1 1
având spectrul λ(ˆB) = {2,0}, valorile singulare calculate prin procedura sugerată
mai sus fiind σ(A) = { √ 2,0}, i.e. o evaluare cu o precizie mult inferioară celei de
reprezentare.
✸
O metodă mai performantă pentru calculul DVS – propusă de G.H. Golub şi
W. Kahan [30] în 1965 şi cunoscută sub denumirea de algoritm DVS 18 – evită
formarea explicită a matricelor B sau C, construind recurent un şir de matrice unitar
(ortogonal) echivalente cu matricea A, convergent către o matrice diagonală.
Calculul DVS al matricei diagonale limită este trivial după care, ordonând corespunzător
elementele diagonale, se obţine matricea Σ ce defineşte DVS a matricei
iniţiale. Matricele U şi V se calculează prin acumularea transformărilor. Ideea de
18 În literatura de specialitate de limbă engleză acronimul utilizat este SVD (Singular Value
Decomposition).
⎤
⎦,