Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 321
3. % Calculul factorizării QR a matricei T fără calculul explicit al
matricei Q.
1. h 1 = g 1
2. Pentru i = 1 : n−1
1. [
[
fi
g i
]
,c i ,s i ] = Gr(
2. τ = h i
3. h i = c i h i −s i f i+1
4. f i+1 = s i τ +c i f i+1
5. Dacă i < n−1
1. h i+1 = c i g i+1
4. % Calculul produsului RQ
1. Pentru i = 1 : n−1
1. f i = c i f i −s i h i
2. g i = −s i f i+1
3. f i+1 = c i f i+1
5. % T ← T +µI n
1. Pentru i = 1 : n
1. f i ← f i +µ
[
fi
g i
]
)
Comentarii. Pentru apelul algoritmului de implementare a unui pas QR simetric
cu deplasare explicită vom utiliza sintaxa
[f,g,c,s] = IT QRsim(f,g).
Matricea de transformare curentă este dată de
Q = P 12 P 23···P n−1,n , (4.286)
algoritmul furnizând elementele definitorii pentru cele n−1 rotaţii utilizate pentru
o eventuală acumulare a transformărilor (care se face numai în caz de necesitate).
În forma de mai sus, execuţia unui pas QR simetric cu deplasare explicită necesită
un număr N op ≈ 20n flopi la care se adaugă n−1 extrageri de radical. ✸
Exemplul 4.6 Considerăm matricea tridiagonală simetrică
⎡
T = ⎣ 1 1 0
⎤
1 2 1 ⎦
0 1 1
definită de vectorii f = [1 2 1] T şi g = [1 1] T şi având valorile proprii exacte
λ(T) = {0,1,3}. Iterarea brută (i.e. fără supravegherea şi anularea elementelor
neglijabile) a algoritmului IT QRsim conduce la evoluţia elementelor vectorilor
g şi f prezentată în tabelele 4.7 şi 4.8. Se confirmă anularea rapidă a ultimului