Calculul valorilor si vectorilor proprii

216 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Altfel spus, matricele normale sunt matricele unitar diagonalizabile (peste IC).
În cazul real, matricea A este normală dacă şi numai dacă satisface aceleaşi
condiţii, i.e. este unitar diagonalizabilă.
Demonstraţie.
Presupunem că matricea A este normală. Demonstrăm mai întâi următorul
rezultat preliminar.
Lema 4.1 Dacă S este un subspaţiu simultan A-invariant şi A H -invariant, atunci
A şi A H admit un vector propriu comun x conţinut în S 6 . Dacă Ax = λx atunci
A H x = ¯λx.
Subspaţiul S fiind A-invariant, în conformitate cu propoziţia 4.1, punctul 2 ◦ , există
un vector propriu x al matricei A (i.e. care satisface Ax = λx, x ≠ 0) conţinut în
S. Din (4.19) rezultă imediat că A(A H ) k = (A H ) k A. Deci A(A H ) k x = λ(A H ) k x,
k = 0,1,2,..., i.e. y k = (A H ) k x ≠ 0 sunt vectori proprii ai matricei A asociaţi
aceleiaşi valori proprii λ. Cum subspaţiul S este şi A H -invariant rezultă că toţi
vectorii y k sunt conţinuţi în S. Fie p întregul pentru care y 0 ,y 1 ,...,y p−1 sunt
liniar independenţi, iar y p este o combinaţie liniară a acestora. Atunci, subspaţiul
S ′ = ImY ⊂ S, unde Y = [y 0 y 1 ... y p−1 ] este A-invariant (conform propoziţiei
4.1, punctul 1 ◦ ) şi, fiind generat de vectori proprii asociaţi aceleiaşi valori proprii,
orice vector nenul din S ′ este vector propriu al lui A. Pe de altă parte, S ′ este
şi A H -invariant întrucât ∀x = Yu ∈ S avem A H x = A H Yu = Yv ∈ S ′ . În
consecinţă, conform propoziţiei 4.1, 2 ◦ , există o matrice B astfel încât A H Y = YB,
de unde rezultă A H Yz = YBz = µYz pentru orice vector propriu z al ei asociat
valorii proprii µ ∈ λ(B). Prin urmare, notând x = Yz avem A H x = µx cu µ ∈
∈ λ(B) ⊂ λ(A H ). Altfel spus, există un vector propriu al matricei A H conţinut
în S ′ . Cum toţi vectorii nenuli din S ′ sunt vectori proprii ai lui A, am arătat că
matriceanormalăAşimatriceaA H au(cel puţin) un vectorpropriucomunconţinut
în S ′ , deci şi în S. Mai mult, din Ax = λx şi A H x = µx cu acelaşi x ≠ 0, avem
λ‖x‖ 2 = λx H x = x H Ax = (A H x) H x = (µx) H x = ¯µ‖x‖ 2 , de unde rezultă µ = ¯λ.
Demonstraţia lemei este completă.
Vom construi acum un set complet de vectori proprii ortogonali ai matricei
normale A.
Pasul 1 ◦ . Spaţiul IC n fiind simultan A- şi A H -invariant, conform lemei de mai sus
matricele A şi A H admit un vector propriu comun x 1 care poate fi normat:
Ax 1 = λ 1 x 1 , A H x 1 = ¯λ 1 x 1 , ‖x 1 ‖ = 1.
Subspaţiul S 1 = Im[x 1 ] este simultan A-invariant şi A H -invariant. Conform propoziţiei
4.1, 3 ◦ complementul său ortogonal T 1 = S ⊥ 1 în ICn este, de asemenea,
simultan A- şi A H -invariant. În consecinţă matricele A şi A H admit un vector
propriu (normat) comun x 2 ∈ T 1 , i.e. ortogonal cu x 1 :
Ax 2 = λ 2 x 2 , A H x 2 = ¯λ 2 x 2 , ‖x 2 ‖ = 1, x 2 ⊥ x 1 .
6 Un rezultat mai general este următorul: două matrice care comută admit un vector propriu
comun (v. exerciţiul 4.7).