Calculul valorilor si vectorilor proprii

320 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
sau, şi mai eficient, egală cu valoarea proprie, întotdeauna reală, cea mai apropiată
de t nn , a blocului 2×2 din colţul din dreapta jos al matricei curente T
[ ]
fn−1 g
T(n−1 : n, n−1 : n) = n−1
. (4.283)
g n−1 f n
Deplasarea din cea de a doua variantă, numită deplasare Wilkinson, are expresia
(verificaţi!)
µ = 1 √
2 (f n−1 +f n −sgn(f n−1 −f n ) (f n−1 −f n ) 2 +4gn−1 2 ) (4.284)
şi se calculează economic şi fiabil cu relaţiile
α = f n−1 −f n
, β = gn−1 2 2
, µ = f β
n −
α+(sgnα) √ α 2 +β . (4.285)
Se poate arăta [VI] că, pentru oricare din deplasările (4.282) sau (4.284), în partea
”finală” a procesului iterativ se obţine o convergenţă cubică a şirului QR simetric
(4.280) către o structură diagonală. Există, totuşi, unele argumente de natură
euristică în favoarea deplasării Wilkinson.
Avându-se în vedere structura tridiagonală a tuturor matricelor şirului QR simetric(4.280),pentrufactorizareaQRdin(4.281)serecomandăutilizarearotaţiilor.
Este uşor de constatat că matricea superior triunghiulară R a acestei factorizări va
avea numai două supradiagonale nenule. Mai mult, pentru necesităţile de calcul ale
matricei succesor, conform (4.281), cea de a doua supradiagonală nici nu trebuie
calculată. În consecinţă, pentru memorarea elementelor utile sunt suficienţi doi
vectori de dimensiuni n şi n−1 care pot fi vectorul f al elementelor diagonale ale
matricei T şi un vector suplimentar pe care îl notăm cu h. Cu aceste precizări, un
pas simplu QR simetric cu deplasare explicită (fără acumularea transformărilor)
constă în efectuarea următoarelor calcule.
Algoritmul 4.25 (IT QRsim – Un pas QR simetric cu deplasare
Wilkinson explicită) (Dată o matrice simetrică tridiagonală ireductibilă
T ∈ IR n×n prin vectorul f ∈ IR n al elementelor diagonale şi vectorul
g ∈ IR n−1 al elementelor subdiagonale, algoritmul calculează vectorii
definitorii f şi g ai matricei succesor din şirul QR simetric. Toate
calculele se efectuează pe loc, în locaţiile de memorie ale elementelor
vectorilor f şi g. Algoritmul furnizează, de asemenea, vectorii c şi s ale
elementelor ce definesc rotaţiile utilizate.)
1. % Calculul deplasării Wilkinson
1. α = f n−1 −f n
, β = g 2
2
n−1, µ = f n −
2. % T ← T −µI n
1. Pentru i = 1 : n
1. f i ← f i −µ
β
α+(sgnα) √ α 2 +β