Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.3. METODA PUTERII. METODA PUTERII INVERSE 237
2. Stop
2. µ = y H Ay
3. Se rezolvă sistemul liniar (µI n −A)z = y
4. z ← z/‖z‖
5. e = |1−|z H y||
6. y ← z
7. i ← i+1
Comentarii. Metoda puterii inverse cu deplasare variabilă dată de câtul Rayleigh
reprezintă cea mai bună cale de calcul al unui vector propriu al unei matrice. Convergenţa
pătratică este foarte rapidă (după cum se poate vedea şi din exemplul
4.3). Astfel, e.g. dacă ‖y (0) − γx 1 ‖ ≤ ε şi τ = 1, atunci ‖y (k) − γx 1 ‖ ≤ ε 2k .
Simultan cu calculul vectorului propriu, algoritmul calculează şi valoarea proprie
asociată, dată de valoarea finală a deplasării µ. În vederea obţinerii unei eficienţe
sporite, este utilă transformarea prealabilă a matricei date la o formă (e.g., forma
superior Hessenberg) care să aibă ca efect reducerea efortului de calcul necesar
pentru rezolvarea sistemului liniar de la instrucţiunea 4.3. ✸
Metoda puterii Metoda puterii inverse
k e k λ (k)
1 e k µ k = λ (k)
1
0 1.0000000000000 2.0000000000000 1.0000000000000 2.0000000000000
1 0.1055728090001 3.2000000000000 0.1322781687254 2.9411764705882
2 0.0262710088797 3.1481481481482 0.2003991735561 3.0045159755566
3 0.0026194296043 2.8921933085502 0.0000155353785 3.0000169808688
4 0.0006379322733 3.0572569906791 0.0000000000709 3.0000000001717
5 0.0002519147863 2.9922635151170 0.0000000000000 3.0000000000000
6 0.0000549638856 2.9945140858135
7 0.0000060060669 3.0060698628267
8 0.0000014882055 2.9974207755674
9 0.0000006272018 3.0004545082285
.
.
.
23 0.00000000000000 3.0000000351815
Tabelul 4.1: Rezultate numerice privind evoluţia erorii de pas e k şi aproximaţiei
curente λ (k)
1 = (y (k) ) H Ay (k) a valorii proprii dominante din exemplul 4.3.
Exemplul 4.3 Se consideră matricea companion
⎡ ⎤
2 3 2 −6
A = ⎢ 1 0 0 0
⎥
⎣ 0 1 0 0 ⎦ ,
0 0 1 0