Calculul valorilor si vectorilor proprii

508 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
Dacă u 1 = 0 sau, în general, pentru o mai bună stabilitate numerică, se aplică întâi
permutarea u ← Pu care aduce pe prima poziţie elementul de modul maxim din u. Deci,
în loc de M se utilizează transformarea stabilizată MP.
b. Sistemul Ax = b se transformă în B(Mx) = Mb. Se rezolvă By = Mb, apoi
x = M −1 y. Dacă se ţine seama de forma specială a lui B, care are doar prima linie şi
diagonala nenule, numărul de operaţii este O(n).
P2.24 Multiplicatorii au toţi valoarea −1 (elementele diagonale nu se modifică, cu
excepţia celui din dreapta jos) iar în ultima coloană avem a (k)
in = 2a(k−1) in
, pentru i ≥ k.
Se obţine evident a (n)
nn = 2 n−1 .
P2.25 Avem
cond(A) ≤ ‖|A−1 ||A||x|‖ ∞
‖|A||x|‖ ∞
‖|A||x|‖ ∞
‖|x|‖ ∞
≤ ‖A −1 ‖ ∞‖A‖ ∞.
Am folosit definiţia normei ∞ şi egalitatea evidentă ‖|A|‖ ∞ = ‖A‖ ∞.
P2.26 Elementele diagonale ale matricei D 1 sunt d i = 1/max j=1:n|a ij|. Astfel,
liniile matricei B = D 1A au norma infinit egală cu 1, iar coloanele normă infinit inferioară
lui 1 (evident, |b ij| ≤ 1). Elementele diagonale ale matricei D 2 se iau acum
˜d j = 1/max i=1:n|b ij|. Notând C = BD 2, avem c ij ≤ 1 (ca şi pentru B), liniile lui C
păstrează norma infinit unitate, iar coloanele au aceeaşi proprietate.
Alegând d i şi ˜dj cele mai mici puteri ale lui β superioare valorilor 1/max j=1:n|a ij|,
respectiv 1/max i=1:n|b ij|, obţinem evident normele infinit ale liniilor şi coloanelor lui C
în intervalul [1/β, 1].
P2.27 a. Să presupunem că:
Atunci
˜L =
[
L 0
X L
]
, Ũ =
[
U Y
0 U
[ ]
B = ˜LŨ A LY
= .
XU XY +A
Deci LY = 0 şi, deoarece A nesingulară implică L, U nesingulare, Y = 0; XU = R, deci
X = RU −1 , şi X este superior triunghiulară.
b. [ ][ ] [ ] {
A 0 x1 d1 Ax1 = d 1
= ⇒
R A x 2 d 2 Rx 1 +Ax 2 = d 2
Se rezolvă întâi Ly = d 1, Ux 1 = y şi se obţine x 1 (în 2n 2 flopi). Se calculează apoi
f = d 2−Rx 1 (n 2 flops); se rezolvă Ly = f, Ux 2 = y şi se obţine x 2 (în 2n 2 flopi). Totalul
este de doar 5n 2 flopi. Schema de calcul prezentată poate fi aplicată pentru rezolvarea
oricărui sistem bloc inferior triunghiular.
P2.28 a. Se utilizează eliminarea gaussiană; a ij = 0, pentru i > j +n; multiplicatorii
µ ij vor respecta aceeaşi relaţie. b. Se utilizează eliminarea gaussiană cu pivotare parţială,
care nu va afecta structura matricei A.
P2.29 a.
1. Pentru s = 1 : n−1
1. a s+1,s ← a s+1,s/a ss
2. a s+1,s+1 ← a s+1,s+1, −a s+1,sa s,s+1
P2.30 Se aplică o eliminare gaussiană pe dreapta (adică pe linii) pentru rezolvarea
sistemului FE = C. Notăm p = n−s, deci F,C ∈ IR p×2 .
]
.