Calculul valorilor si vectorilor proprii

468 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
unde ρ este un factor real de normare. Vom numi vectorul
⎡ ⎤
h 11
−µ
t 11
w =
⎢
⎣
h 21
t 11
⎥
⎦ , (6.51)
alelementelornenulealevectoruluiq 1 /ρvector de deplasare implicităasociatpasului
simplu QZ.
2. Matricea unitară P de la instrucţiunea 2 a schemei de calcul de mai sus este,
cel mai simplu, o rotaţie (complexă), având structura
[ ] ˜P 0
P =
(6.52)
0 I n−2
cu ˜P ∈ IC 2×2 astfel calculată încât
˜P H w = νe 1 . (6.53)
3. Este uşor de văzut că aplicarea transformării de asemănare de la punctul 2
al schemei de calcul de mai sus este echivalentă cu aplicarea rotaţiei P H ambelor
matrice din perechea (H,T). Într-adevăr, dacă ( ˜H, ˜T) = (P H H,P H T), atunci
˜H ˜T −1 = P H HT −1 P = P H GP. Alterareastructurii superiorHessenberg a matricei
G în poziţia (3,1) se transferă în alterarea structurală a perechii (H,T). Concret,
datorită structurii (6.52) a lui P, matricea ˜H rămâne superior Hessenberg, pe când
˜T are un element nenul suplimentar în poziţia (2,1).
4. Refacereastructurii Hessenberggeneralizateaperechii ( ˜H, ˜T) printr-otransformare
unitară de echivalenţă poate fi asimilată cu refacerea formei Hessenberg a
matricei ˜G. Într-adevăr,dacă (H′ ,T ′ ) = (˜Q H ˜HZ, ˜QH ˜TZ) este în formăHessenberg
generalizată, atunci G ′ = H ′ T ′ −1 = ˜Q H ˜HZZ
H ˜T−1 ˜Q = ˜QH ˜H ˜T−1 ˜Q = ˜QH ˜G˜Q este
o matrice superior Hessenberg (ca produs dintre o matrice superior Hessenberg şi
o matrice superior triunghiulară). Concret, readucerea perechii alterate la forma
Hessenberg generalizată se face utilizând algoritmul HTQZ adaptat, pentru asigurarea
eficienţei necesare, la situaţia structurală prezentă. Detaliile sunt precizate
prin următoarea schemă de calcul.
HTQZ1
1. Pentru k = 2:n
1. Se calculează rotaţia modificată Z k−1,k astfel încât
(TZ k−1,k )(k,k−1) = 0
2. H ← HZ k−1,k % Apare un element nenul în poziţia (k+1,k−1)
a lui H (pentru k < n)
3. T ← TZ k−1,k % Se anulează elementul T(k,k−1)
4. Dacă k < n atunci
1. Se calculează rotaţia Q k,k+1 astfel încât (Q H k,k+1 H)(k+1,k−1) = 0
2. H ← Q H k,k+1H % Se anulează elementul H(k+1,k−1)
3. T ← Q H k,k+1T % Apare un element nenul în poziţia (k+1,k) a lui T