Calculul valorilor si vectorilor proprii

312 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
unde S ∈ IC δ1×r1 este o soluţie a ecuaţiei matriceale 46
[ ]
K23
S = K
L 13 . (4.257)
2
Cu această transformare rezultă
N 2 = T2
−1 Ñ 2 T 2 = T2 −1 Z2 H Z1 H NZ 1 Z 2 T 2 =
δ 1
δ 2 r 2
{}}{ {}}{ {}}{
⎡
⎣ 0 K ⎤
12 0
0 0 K 23
0 0 L 2
⎦ }δ 1
}δ 2
}r 2
, (4.258)
Acest proces se desfăşoară într-un număr s de paşi, unde s este primul întreg
pentrucareL s =0, obţinându-se, înfinalulacesteietape, omatriceavândostructură
bloc supradiagonală
K = N s = T −1
s Z H s ...T−1 2 Z H 2 ZH 1 NZ 1Z 2 T 2 ...Z s T s =
=
δ 1 δ 2 δ 3 δ s
{}}{ {}}{ {}}{ ··· {}}{
⎡
⎤
0 K 12 0 ··· 0
0 0 K 23 ··· 0
. . . .. . .. .
⎢
⎣
. ⎥
0 0 0 .. Ks−1,s ⎦
0 0 0 ··· 0
}δ 1
}δ 2
. , (4.259)
}δ s
}δ s−1
cu toate blocurile K i−1,i , i = 2 : s, monice. Din dimensiunile δ l ×δ l ale blocurilor
diagonale se pot deduce, după cum s-a arătat mai sus, numărul ν l = δ l − δ l+1 ,
l = 1 : s, al celulelor Jordan de ordinul l.
Etapa 2 ◦ arecaobiect introducereazerourilor înblocurilesupradiagonaleK i−1,i .
Pentru claritate, descriem modalitatea în care acest obiectiv poate fi atins în cazul
particular s = 3. Considerăm descompunerea unitară completă a blocului K 23
[ ˜K 23 ,Q 23 ,Z 23 ,δ 3 ] = QRC21(K 23 ), cu care obţinem
[ ]
˜K 23 = Q H 0 }δ2 −δ
23K 23 Z 23 =
3 = ν 2
, (4.260)
R 23 }δ 3 = ν 3
cu R 23 ∈ IC ν3×ν3 nesingulară. Acum, cu transformarea de asemănare definită de
matricea
⎡ ⎤
I δ1 0 0
T 23 = ⎣ 0 Q 23 0 ⎦, (4.261)
0 0 Z 23 R23
−1
[ ]
46 K23
Ecuaţia (4.257) are întotdeauna (cel puţin) o soluţie S întrucât matricea sistemului
L 2
este monică. [ O soluţie ] poate [ fi]
calculată cu mijloacele descrise în capitolele [ 2 şi]
3. De exemplu,
dacă Q H K23 R K23
= este triangularizarea unitară a matricei , atunci S =
L 2 0
L 2
= [ R −1 K 13 Y ] Q H , cu Y ∈ IC δ 1×δ 2 arbitrară, este o astfel de soluţie. Pentru Y = 0 se obţine
soluţia normală, i.e. de normă Frobenius minimă.