Calculul valorilor si vectorilor proprii

Capitolul 6
Calculul valorilor şi
vectorilor proprii generalizaţi
Valorilepropriigeneralizateşivectoriipropriigeneralizaţiasociaţicaracterizeazădin
punct de vedere structural perechile de matrice pătrate şi reprezintă o generalizare
naturală a conceptelor de valoare proprie şi vector propriu.
Metoda de calcul a valorilor proprii generalizate care s-a impus reprezintă o
adaptare performantă a algoritmului QR la noul cadru structural.
6.1 Formularea problemei
6.1.1 Valori şi vectori proprii generalizaţi
Fie matricele pătrate A,B ∈ IC n×n . Mulţimea de matrice
F = {F ∈ IC n×n | F = A−λB, λ ∈ IC} (6.1)
se numeşte fascicol matriceal asociat perechii (A,B) 1 .
Definiţia 6.1 Fie F fascicolul matriceal definit de perechea (A,B) ∈ IC n×n ×IC n×n .
Un număr λ ∈ IC se numeşte valoarecaracteristicăa fascicolului F sau, încă, valoare
proprie generalizată a perechii (A,B), dacă există un vector nenul x ∈ IC n astfel
încât
Ax = λBx. (6.2)
Orice vector x ≠ 0 care satisface (6.2) se numeşte vector principal al fascicolului
F sau, încă, vector propriu generalizat al perechii (A,B) asociat valorii proprii
generalizate λ.
Sistemul liniar omogen (6.2), scris sub forma
(A−λB)x = 0, (6.3)
1 Fascicolele matriceale se definesc şi pentru perechile de matrice nepătrate.