Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.8. PROBLEME 499
cu α, β parametri reali.
a) Discutaţi în raport cu α, β numărul valorilor proprii generalizate finite ale fascicolului
F.
b) Dacă F este un fascicol regulat calculaţi un vector propriu generalizat x al fascicolului
F independent de α, β; determinaţi parametrii α, β astfel încât x T Bx = 0 şi B
este nesingulară.
c) În cazul α = 2, β = 1, calculaţi o bază ortonormală pentru un subspaţiu de deflaţie
de dimensiune 2 al fascicolului F în IR 3 .
[ ]
P 6.2 Considerăm perechea (A,B) ∈ IR n×n ×IR n×n şi fie U T Σ1 0
BV = Σ cu Σ = ,
0 0
Σ 1 = diag(σ 1,σ 2,···,σ r) şi r = rang(B) ≥ 1 descompunerea valorilor singulare a matricei
B. Arătaţi că dacă fascicolul A − λB nu are nici o valoare proprie generalizată finită,
atunci matricea (U(:,r +1 : n)) T AV(:,r+1 : n) este singulară.
P 6.3 Ce proprietăţi au valorile proprii generalizate ale unei perechi (A,B) ∈ IC n×n ×
×IC n×n cu matricele A şi B unitare (în cazul real, ortogonale)
P 6.4 Fie perechea (A,B) ∈ IC n×n ×IC n×n cu B nesingulară. Să se arate că λ ∈ λ(A,B)
dacă şi numai dacă λ−µ ∈ λ(B,B(A−µB) −1 B) pentru µ ∉ λ(A,B).
P 6.5 Scrieţi un algoritm de reducere a unei perechi reale (A,B) ∈ IR n×n × IR n×n la
forma Hessenberg generalizată prin transformări ortogonale de echivalenţă.
P 6.6 Elaboraţi un algoritm care să calculeze iterativ un vector propriu generalizat al
perechii (A,B) ∈ IC n×n ×IC n×n cu B nesingulară adaptând metoda puterii pentru matricea
F = B −1 A sau matricea G = AB −1 fără a calcula explicit matricele F sau G. Aceeaşi
cerinţă pentru adaptarea metodei puterii inverse.
P 6.7 Fie dat un vector propriu generalizat x ∈ IC n al unui fascicol regulat definit de
perechea (A,B) ∈ IC n×n × IC n×n . Să se arate că Bx ≠ 0 şi că funcţia f : IC → IR,
f(λ) = 1 2 ‖Ax−λBx‖2 2 îşi atinge valoare minimă în valoarea proprie λ ∈ λ(A,B) asociată
lui x dată de expresia λ = xH B H Ax
x H B H Bx ∈ λ(A,B).
P 6.8 Fie (H,T) ∈ IC n×n × IC n×n în formă Hessenberg generalizată cu T nesingulară.
Arătaţi că matricea superior Hessenberg G = HT −1 este ireductibilă dacă şi numai dacă
matricea H este ireductibilă.
P 6.9 Sedăunfascicol real deordinul2definitdeperechea(H,T) ∈ IR 2×2 ×IR 2×2 înformă
Hessenbergireductibilăcuvaloriproprii generalizate reale. Săse scrie unalgoritm decalcul
al matricelor ortogonale Q,Z ∈ IR 2×2 astfel încât perechea ( ˜H, ˜T) = (Q T HZ,Q T TZ) să
fie în formă Schur.
P 6.10 Fie perechea (A,B) ∈ IR n×n × IR n×n cu A, B simetrice şi, în plus, B pozitiv
definită. Să se arate că toate valorile proprii generalizate ale perechii (A,B) sunt reale.
Este adevărată această aserţiune şi dacă B nu este pozitiv definită
Elaboraţi un algoritm de calcul al valorilor proprii generalizate ale fascicolului (A,B)
care să exploateze simetria celor două matrice.
P 6.11 Se dă o pereche (S,T) ∈ IR n×n ×IR n×n în formă Schur reală generalizată. Se cer
algoritmii de calcul pentru