Calculul valorilor si vectorilor proprii

480 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
Suntem în măsură să prezentăm acum algoritmul formal de implementare a
unui pas dublu QZ cu deplasare implicită. Sunt utilizate procedurile de calcul
al reflectorilor cuprinse în tabelul 4.3, la care se adaugă procedurile introduse în
această secţiune.
Algoritmul 6.7 (IT QZ2 – Un pas dublu QZ cu deplasare implicită)
(Date o pereche (H,T) ∈ IR n×n × IR n×n în formă Hessenberg
generalizată ireductibilă, vectorul de deplasare implicită w ∈ IR 3
şi matricele ortogonale Q,Z ∈ IR n×n , algoritmul suprascrie perechea
(H,T) cu perechea succesor (H ′ ,T ′ ) = (Q T k HZ k,Q T k TZ k) din şirul QZ.
Opţional, se actualizează matricele de transformare Q şi Z. Opţiunea
se exprimă cu ajutorul variabilei logice opt de tipul şir de caractere care
poate lua valorile ′ da ′ sau ′ nu ′ . Dacă opt = ′ nu ′ , algoritmul returnează
matricele Q şi Z nemodificate.)
1. [w,u,β] = Hr(w)
2. H(1:3,:) = Hrs(u,β,H(1:3,:))
3. T(1:3,:) = Hrs(u,β,T(1:3,:))
4. Dacă opt = ′ da ′ atunci Q(:,1:3) = Hrd(Q(:,1:3),u,β)
5. % Refacerea structurii superior Hessenberg generalizate
Pentru k = 1 : n−3
1. [T(k+2,k : k+2),u,β] = Hrm(T(k+2,k : k+2))
2. H(1 : k+3,k : k+2) = Hrd(H(1 : k+3,k : k+2),u,β)
3. T(1 : k+1,k : k+2) = Hrd(T(1 : k+1,k : k+2),u,β)
4. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Z(:,k : k+2) = Hrd(Z(:,k : k+2),u,β)
5. [T(k+1,k : k+1),u,β] = Hrm(T(k+1,k : k+1))
6. H(1 : k+3,k : k+1) = Hrd(H(1 : k+3,k : k+1),u,β)
7. T(1 : k,k : k+1) = Hrd(T(1 : k,k : k+1),u,β)
8. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Z(:,k : k+1) = Hrd(Z(:,k : k+1),u,β)
9. [H(k+1 : k+3,k),u,β] = Hr(H(k+1 : k+3,k))
10. H(k+1 : k+3,k+1 : n) = Hrs(u,β,H(k+1 : k+3,k+1 : n))
11. T(k+1 : k+3,k+1 : n) = Hrs(u,β,T(k+1 : k+3,k+1 : n))
12. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Q(:,k+1 : k+3) = Hrd(Q(:,k+1 : k+3),u,β)
6. % Ultimele transformări
1. [T(n,n−2: n),u,β] = Hrm(T(n,n−2: n))
2. H(:,n−2: n) = Hrd(H(:,n−2 : n),u,β)
3. T(1 : n−1,n−2: n) = Hrd(T(1 : n−1,n−2: n),u,β)
4. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Z(:,n−2: n) = Hrd(Z(:,n−2 : n),u,β)
5. [T(n−1,n−2: n−1),u,β] = Hrm(T(n−1,n−2: n−1))