Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.3. ALGORITMUL DVS 397
Comentarii. Semnalăm, în primul rând, faptul că vectorul ũ k ce defineşte reflectorul
hermitic Ũk (din structurareflectorului U k ) este memorat înlocaţiile (k : m,k)
ale matricei A. Pentru a fi posibil acest lucru, în afara elementelor (k +1 : m,k),
anulate la pasul curent k de către U k , este utilizată şi locaţia (k,k), ceea ce presupune
salvarea prealabilă a elementului diagonal calculat a kk
def
= f k . Similar,
vectorul ṽ k+1 definitoriu pentru reflectorul Ṽk+1 = I n−k − ṽk+1ṽk+1
H , este memorat
γ k+1
def
în locaţiile (k,k +1 : n) după ce, în prealabil, a fost salvat elementul a k,k+1 = g k .
Pentru a face posibil acest lucru fără modificarea procedurilor utilizate a fost introdus
un vector de lucru c. De asemenea, pentru a nu introduce o nouă procedură
de calcul a unui reflector care să anuleze componentele (2 : n) ale unui vector linie
n-dimensional, s-a utilizat un vector de lucru v.
Sintaxa de utilizare a algoritmului de mai sus este
[f,g,U,V ] = JQc(A,opt 1 ,opt 2 ).
În cazul datelor iniţiale reale, toate matricele de transformare sunt reale, i.e. ortogonale,
iar algoritmul de mai sus se adapteazăprin simpla substituire a procedurilor
pentru date complexe cu cele pentru date reale (concret, se înlocuieşte sigla c din
numele procedurilor cu sigla r). De aceeea ne mărginim să prezentăm pentru acest
caz numai sintaxa de utilizare
[f,g,U,V ] = JQr(A,opt 1 ,opt 2 ).
Efortul de calcul asimptotic implicat de execuţia variantei reale, fără acumularea
transformărilor, este N op = 4mn 2 − 4 3 n3 flopi, iar în cazul complex, dacă avem
în vedere echivalările operaţiilor cu numere complexe cu cele cu numere reale (v.
cap. 4), de câteva ori mai mare. Tot în varianta reală, pentru calculul matricei de
transformare U, sunt necesare N ′ op = 4m 2 n− 4 3 n3 flopi, respectiv, pentru calculul
matricei de transformare V se execută N op ′′ = 4 3 n3 flopi suplimentari. De reţinut
ordinea inversăde acumulareatransformărilorcare este mai economică, exploatând
”umplerea” progresivă a matricelor de transformare.
✸
Observaţia 5.4 În cazul în care m ≫ n este posibilă o uşoară îmbunătăţire a
eficienţei dacă înaintea aplicării algoritmului JQ are loc o prealabilă triangularizare
unitară(ortogonală)amatriceiA. Concret, procedura,numită”R-bidiagonalizare”,
este următoarea.
[ ]
RJQ 1. Se efectuează triangularizarea unitară Q H R1
A = R = ,
0
cu R 1 o matrice n×n superior triunghiulară.
2. [f,g,Ũ,V ] = JQ(R 1,opt 1 ,opt 2 )
3. Dacă opt 1 = ′ da ′ atunci
1. U = Qdiag(Ũ,I m−n).