Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 257
Hessenberg a matricei B. Varianta adaptată a algoritmului HQc dată de schema
de calcul de mai sus calculează matricea superior Hessenberg
H ← H ′ = P H n−1,n···PH 34 PH 23 BP 23P 34···P n−1,n =
= P H n−1,n···PH 23 PH 12 HP 12P 23···P n−1,n = Q H k HQ k, (4.143)
i.e. matricea succesor a lui H din şirul QR cu paşi simpli.
Din raţiuni de organizare judicioasă a algoritmului QR şi, mai ales, a algoritmului
de ordonare a formei Schur (vezi secţiunea 4.6), vom introduce un algoritm
distinct de calcul al vectorului de deplasare implicită asociat unui pas simplu QR.
Algoritmul 4.4 (VD1 – Calculul vectorului de deplasare implicită
pentru un pas simplu QR) (Dată o matrice superior Hessenberg ireductibilă
H ∈ IC n×n , algoritmul calculează vectorul w ∈ IC 2 de deplasare
implicită pentru un pas simplu QR.)
1. µ = h nn
[ ]
h11 −µ
2. w =
h 21
Comentarii. Sintaxa de apel a acestui algoritm va fi
w = VD1(H),
iar execuţia sa implică efectuarea unei singure operaţii cu numere complexe.
Cu aceste precizări putem prezenta algoritmul de implementare a unui pas simplu
QR cu deplasare implicită. Sunt utilizate proceduri prezentate în tabelul 4.3.
Algoritmul 4.5 (IT QR1 – Un pas simplu QR cu deplasare implicită)
(Date o matrice superior Hessenberg ireductibilă H ∈ IC n×n şi
vectorul de deplasare implicită w ∈ IC 2 , algoritmul suprascrie matricea
H cu matriceasuccesorH ← H ′ = Q k HQ H k din şirul QR.De asemenea,
algoritmul furnizează vectorii c ∈ IR n−1 şi s ∈ IC n−1 ale căror elemente
(c i ,s i ) definesc rotaţiile P i,i+1 utilizate.)
1. % Calculul şi aplicarea rotaţiei P 12
1. [w,c 1 ,s 1 ] = Gc(w)
2. H(1 : 2,:) = Gcs(c 1 ,s 1 ,H(1 : 2,:))
3. H(1 : min(3,n),1 : 2) = Gcd(H(1 : min(3,n),1 : 2),c 1 ,s 1 )
2. % Refacerea structurii Hessenberg
Pentru i = 2 : n−1
1. [H(i : i+1, i−1),c i ,s i ] = Gc(H(i : i+1,i−1))
2. H(i : i+1, i : n) = Gcs(c i ,s i ,H(i : i+1, i : n))
3. H(1 : min(i+2,n), i : i+1) =
= Gcd(H(1 : min(i+2,n), i : i+1),c i ,s i ).
✸