Calculul valorilor si vectorilor proprii

304 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
astfel încât
⎡
D = X −1 TX = ⎢
⎣
⎤
T 11 0 ··· 0
0 T 22 ··· 0
.
. . ..
⎥
. ⎦ . (4.233)
0 0 ··· T qq
Demonstraţie. Dovadase obţine imediat prinaplicarearepetată alemei 4.5pentru
a proba existenţa şi pentru a calcula submatricele X ij care definesc matricea de
transformare X. Procedura are q −1 paşi.
Pasul 1 ◦ . Fie partiţia
T =
⎡
[ ]
T11 ˜T12
, unde ˜T12 = [ ] ⎢
T 12 ··· T 1q , ˜T22 = ⎣
0 ˜T22
⎤
T 22 ··· T 2q
.
. .. . 0 ··· T qq
Din (4.231) rezultă λ(T 11 )∩λ(˜T 22 ) = ∅. Prin urmare, conform lemei 4.5, transformarea
definită de T ← T (1) = X1 −1 TX 1 cu
[ ]
In1 ˜X12
X 1 = ,
0 I n−n1
unde ˜X 12 este soluţia ecuaţiei Sylvester
T 11 ˜X12 − ˜X 12˜T22 + ˜T 12 = 0
asigură anularea blocurilor extradiagonale de pe prima bloc-linie a matricei T.
Pasul k ◦ . Presupunem că la primii k − 1 paşi am realizat bloc-diagonalizarea
din primele bloc linii, i.e.
T ← T (k−1) = X −1
k−1···X−1 2 X−1 1 TX 1X 2···X k−1 =
⎡
⎣
⎤
˜T 11 0 0
0 T kk
˜Tk,k+1 ⎦,
0 0 ˜Tk+1,k+1
⎥
⎦.
unde
˜T 11 =
⎡
⎢
⎣
⎤
T 11 ··· 0
.
. .. .
⎥
⎦, ˜Tk,k+1 = [ ]
T k,k+1 ··· T kq ,
0 ··· T k−1,k−1
˜T k+1,k+1 =
⎡
⎢
⎣
T k+1,k+1
⎤
··· T k+1,q
.
. .. .
⎥
⎦.
0 ··· T qq
Din aceleaşi motive ca la pasul 1 ◦ , dacă ˜X k,k+1 este soluţia ecuaţiei Sylvester
T kk ˜Xk,k+1 − ˜X k,k+1 ˜Tk+1,k+1 + ˜T k,k+1 = 0, (4.234)