Calculul valorilor si vectorilor proprii

502 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
Cap. 1. Algoritmi elementari de calcul numeric
P1.4 Pentru norma 1, un exemplu este x = e 1, y = e 2. Pentru norma ∞, putem lua
x = e 1 + e 2 şi y = e 2. În norma 2, egalitatea este imposibilă pentru vectori necoliniari
(suma lungimii a două laturi ale unui triunghi este mai mare decât lungimea celei de-a
treia); la fel în normele p ≠ 1,∞.
P1.5 Pentru n = 2, x =
[
x1
x 2
]
, y =
[
y1
y 2
]
, α = x 1y 1+x 2y 2. fl(x iy i) = x iy i(1+σ i),
cu |σ i| ≤ ε M. Atunci ˆα = [x 1y 1(1 + σ 1) + x 2y 2(1 + σ 2)](1 + σ) şi eroarea absolută este
|ˆα−α| = |x 1y 1σ 1 +x 2y 2σ 2 +O(ε M)| ≤ 2ε M|y| T |x|+O(ε M).
P1.6 Deoarece dorim a T j a k+1 = 0, ∀j ∈ 1 : k, iar vectorii a 1, ..., a k sunt ortogonali,
atunci 0 = a T j a k+1 = ∑ k
α i=1 ika T j a i+a T j b k+1 = α jk a T j a j+a T j b k+1 şi deci scalarii α jk sunt
unic determinaţi prin α jk = −(a T j b k+1 )/(‖a j‖ 2 2).
P1.7 Coloanele (sau liniile) nenule ale matricei A sunt vectori coliniari.
P1.8 Se calculează (AB)C sau A(BC) după cum n 1n 2n 3+n 1n 3n 4 mai mic, respectiv
mai mare decât n 2n 3n 4 +n 1n 2n 4.
P1.9 ‖A‖ 2 ≥ ‖Ae j‖ 2 = ( ∑ m
l=1 a2 lj) 1/2 ≥ |a ij| pentru orice i, j. Pentru a doua parte,
din (1.29) avem ‖A‖ 2 ≤ ‖A‖ F şi evident ‖A‖ F ≤ max √ mn|a ij|.
P1.10 Din definiţia normei 2 avem
( m
) 1/2
∑ n∑
‖A‖ 2 = max ‖Ax‖ 2 = max ( a ijx j) 2 . (7.1)
‖x‖=1 ‖x‖=1
Din inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz, ţinând seama că ‖x‖ 2 = 1, avem
( ∑ n
j=1 aijxj)2 ≤ ∑ n
j=1 a2 ij. Înlocuind în (7.1), este imediată inegalitatea ‖A‖2 ≤ ‖A‖F.
Luând acum vectorul x cu componentele egale, x i = 1/ √ n, din (7.1) se obţine
‖A‖ 2 ≥ (1/ √ n)‖A‖ F.
Luând în (7.1) x = e j, se obţine ‖A‖ 2 ≥ (1/ √ m)‖A‖ 1.
Pentruunvectorxoarecare suntîndepliniterelaţiile ‖x‖ 2 ≤ ‖x‖ 1 şi‖x‖ 2 ≥ (1/ √ n)‖x‖ 1.
Atunci
‖A‖ 2 = sup ‖Ax‖2 ‖Ax‖ 1
≤ sup
‖x‖ 2 (1/ √ = √ n‖A‖ 1.
n)‖x‖ 1
O matrice A cu toate elementele egale cu 1 are ‖A‖ F = ‖A‖ 2 = √ mn. O matrice
B cu b 1j = 1 şi restul elementelor nule are ‖B‖ 2 = √ n, ‖B‖ 1 = 1 şi ‖B‖ ∞ = n, deci
‖B‖ 2 = √ n‖B‖ 1 = (1/ √ n)‖B‖ ∞.
P1.11 Dacă B ∈ IR p×r , fără a afecta generalitatea putem considera B = A(1 : p,1 : r).
Fie C = A(1 : m,1 : r). Este evident că dacă Z este mulţimea vectorilor din IR n de normă
unitate având ultimele n−r componente nule, atunci
i=1
j=1
‖A‖ = max ‖Ax‖ ≥ max‖Az‖ = ‖C‖.
‖x‖=1 z∈Z
Pentru x ∈ IR r , notând y = Cx ∈ IR m şi y ′ = y(1 : p) = Bx, este evident că ‖y‖ ≥ ‖y ′ ‖,
deci ‖C‖ ≥ ‖B‖.
P1.12 Produsul scalar a doi vectori y, z de normă dată este maxim când vectorii sunt
coliniari (vezidinnouinegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz)şi atunci|y T z| = ‖y‖‖z‖.
Cu z = Ax şi definiţia normei 2 rezultă prima inegalitate, din care se deduc imediat
celelalte.
P1.13Aesteinversabilă, deciImA = IR n . ‖A −1 ‖A
‖ = sup −1 x‖ ‖A
x≠0 = sup −1 Ay‖
‖x‖ y≠0 .
‖Ay‖
Deci, 1/‖A −1 ‖Ay‖
‖ = inf y≠0 = min ‖y‖ ‖x‖=1‖Ax‖.