Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 249
Se observă că H este o matrice ortogonală (de permutare). De asemenea nu este
greu de văzut că şirul QR construit cu relaţiile (4.110) cu deplasările (4.125) lasă
matricea H nemodificată, i.e.
H k = H, k = 1,2,...
def
Într-adevăr, fie H 1 = H. Avem µ 1 = h 44 = 0, deci H 1 − µ 1 I 4 = H 1 . Cum H 1
este ortogonală, o factorizare QR a lui H 1 se obţine pentru Q 1 = H 1 şi R 1 = I 4 .
Rezultă H 2 = H 1 şi, prin inducţie, se obţine relaţia de mai sus pentru toţi k.
Evoluţia elementelor subdiagonale h (k)
i+1,i , i = 1 : 3, ale matricelor H k pentru
iniţializarea µ 1 = 0.001 ≠ 0 a deplasării este prezentată în tabelul 4.4, iar pentru
iniţializarea ”recomandată” µ 1 = 2 ≠ 0 a deplasării este prezentată în tabelul 4.5,
din care se poate observa viteza diferită de anulare asimptotică a elementelor h 43
k
µ 1 = 2
h (k)
21
h (k)
32
h (k)
43
1 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000
2 0.91651513899117 0.98169181562325 −0.80868982852162
3 0.78445125612917 0.97895246315181 −0.34595766230725
4 0.63665525316291 0.99162466881300 −0.01531773203215
5 0.49164479289711 0.99761224919910 −0.00000122920448
6 0.36518170914743 0.99936015720678 −0.00000000000000
.
.
.
.
25 0.00053197970928 1.00000000000000 0
.
.
.
.
50 0.00000009183752 1.00000000000000 0
.
.
.
.
100 0.000000000000000 1.00000000000000 0
Tabelul 4.5: Rezultate numerice pentru exemplul 4.4 privind evoluţia elementelor
subdiagonale h (k)
i+1,i , i = 1 : 3, ale matricelor H k cu iniţializarea µ 1 = 2 ≠ 0 a
deplasării.
şi h 21 şi evidenţierea valorilor proprii reale λ 1 şi λ 4 în poziţiile diagonale 11 şi 44 .
Iterând de un număr suficient de ori cititorul interesat va avea confirmarea faptului
că limita şirului QR construit cu una din iniţializările date pentru µ este
Faptul că elementul h (k)
32
H k −→ H ∞ =
⎡
⎢
⎣
−1 0 0 0
0 0 −1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦ .
nu se anulează asimptotic se datorează utilizării exclusive