Calculul valorilor si vectorilor proprii

434 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
i.e. componentele y i , i = r A +1 : n, ale vectorilor din Ỹ sunt arbitrare.
Pe de altă parte vectorul ŷ ∈ Ỹ care minimizează funcţia ψ(y), ce defineşte
restricţia (5.170), este dat de
ŷ i = ˜b i
c i
, i = 1 : r A ,
iar valoarea minimă a funcţiei ψ este
n−r
∑ B
ν = min ψ(y) = ψ(ŷ) =
y ∈ Ỹ
i=1
|˜d i | 2 +
Pot exista două situaţii:
a. În prima situaţie, caracterizată de
ŷ i = ˜d i
s i
, i = r A +1 : n, (5.181)
r A
∑
i=n−r B
|s i˜bi
c i
− ˜d i | 2 +
p∑
i=n+1
|˜d i | 2 . (5.182)
ν ≤ γ 2 , (5.183)
vectorul y ∗ = ŷ din (5.181) asigură atingerea minimului absolut al criteriului şi, în
acelaşi timp, satisface restricţia pătratică (5.170). Prin urmare, y ∗ = ŷ reprezintă,
în acest caz, o soluţie a problemei 32 (5.167). O soluţie a problemei CMMP iniţiale
se obţine utilizând relaţiile (5.176).
b. A doua situaţie este caracterizată de
ν > γ 2 , (5.184)
în care minimul absolut µ din (5.179) al funcţiei φ(y) nu poate fi atins. Un raţionament
simplu, indică faptul că, din motive de continuitate a funcţiei obiectiv, în
acest caz minimul lui φ se atinge pe frontiera domeniului Y. Prin urmare avem aici
o problema de extrem cu legături tip egalitate. Concret, problema este de a calcula
y ∗ pentru care
φ(y ∗ ) = min
y∈Y φ(y), Y = {y|y ∈ ICn , ψ(y) = γ 2 }, (5.185)
iar pentru rezolvarea ei vom utiliza metoda clasică a multiplicatorilor lui Lagrange.
Hamiltonianul asociat problemei (5.185) este
h(λ,y) = φ(y)+λ(ψ(y)−γ 2 ) = ‖Cy −˜b‖ 2 +λ(‖Sy − ˜d‖ 2 −γ 2 ), (5.186)
unde λ ∈ IR este multiplicatorul Lagrange. Introducând vectorii y R = Rey ∈ IR n
şi y I = Imy ∈ IR n putem privi funcţia h din (5.186) ca o funcţie reală de 2n+ 1
variabile reale. Impunând condiţiile cunoscute, de anulare a derivatelor parţiale,
⎧
∂h
⎪⎨ ∂y R = 0
i
, i = 1 : n, (5.187)
∂h ⎪⎩ = 0
∂y I i
32 Problema iniţială nu impune selecţia, dintre soluţiile care asigură minimul absolut al funcţiei
φ, a celei care minimizează funcţia ψ, criteriu îndeplinit de ŷ. Prin urmare, ar putea fi utilizate
şi alte criterii de selecţie, cum ar fi, de exemplu, calculul vectorului y ∈ Ỹ de normă euclidiană
minimă care satisface restricţia (5.170).