Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 375
Prin urmare, matricea B este unitar asemenea cu matricea diagonală S 1 = Σ T Σ =
= diag(σ1 2,σ2 2 ,...,σ2 r,0,...,0), respectiv matricea C este unitar asemenea cu matricea
diagonală S 2 = ΣΣ T = diag(σ1,σ 2 2,...,σ 2 r,0,...,0), 2 de unde rezultă imediat
toate aserţiunile teoremei.
✸
Un rezultat similar, care conexează valorile singulare ale unei matrice cu valorile
proprii ale altei matrice, este prezentat în propoziţia următoare.
Propoziţia 5.1 Fie matricea A ∈ IC m×n , p = min(m,n) şi σ 1 ,σ 2 ,...,σ p valorile
singulare ale matricei A. Atunci valorile proprii ale matricei
[ ] 0 A
F =
A H (5.20)
0
sunt σ 1 ,σ 2 ,...,σ p , −σ 1 ,−σ 2 ,...,−σ p şi |m−n| valori proprii nule.
Demonstraţie. Considerăm cazul m ≥ n (cazul m < n se tratează absolut
similar). Fie A = UΣV H DVS a matricei A, S def
= Σ(1 : n,:), Ũ def
= √ 1 2
U(1 : n,:),
Û def
= U(n+1 : m,:)şi Ṽ def
= 1 √
2
V. Atunci, princalculdirect, seconstatăcămatricea
este unitară şi că
[
Q def Ũ − Ũ
= Û
Ṽ Ṽ 0
G = Q H FQ =
⎡
]
∈ IC (m+n)×(m+n) (5.21)
⎣ S 0 0
0 −S 0
0 0 0
⎤
⎦. (5.22)
Cum λ(F) = λ(G) şi S = diag(σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ), propoziţia este demonstrată.
Observaţia 5.1 Teorema 5.1 arată că orice matrice admite o DVS dar nu afirmă
nimic despre unicitatea acestei descompuneri. Utilizând şi teorema 5.2 putem să
facem câteva consideraţii asupra acestui aspect.
În primul rând, valorile singulare ale unei matrice A ∈ IC m×n , fiind rădăcinile
pătrate pozitive ale valorilor proprii ordonate ale matricelor A H A sau AA H , sunt
unic determinate.
În ceea ce priveşte unicitatea matricelor de transformare este suficient să ne
mărginim la cazul 4 m ≤ n.
Dacă cele m valori singulare sunt distincte, atunci sunt distincte şi valorile proprii
ale matricei hermitice AA H . În această situaţie, coloanele matricei de transformare
U, fiind vectori proprii de normă euclidiană unitară ai matricei AA H , sunt
determinate până la multiplicarea cu numere complexe de modul unitar. Cu alte
cuvinte, în condiţiile menţionate, matricea U este determinată până la o postmultiplicare
cu o matrice diagonală m × m cu elementele diagonale de modul unitar,
i.e. dacă avem două DVS
A = U 1 ΣV H
1 = U 2 ΣV H
2 ,
4 Cazul matricelor cu m ≥ n se reduce la cel analizat dacă în locul matricei A se consideră
matricea A H ∈ IC n×m . Dacă A = UΣV H este o DVS a lui A, atunci A H = VΣ T U H este o DVS
a matricei A H .
✸