Calculul valorilor si vectorilor proprii

252 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
care sunt reale chiar dacă cele două deplasări individuale sunt complexe.
Strategia pasului dublu QR nu se aplică însă în forma explicită de mai sus
întrucât implementarea schemei de calcul prezentate conduce la o reducere sensibilă
a eficienţei. Într-adevăr, complexitatea unui pas simplu QR este O(n2 ) şi la fel
este şi complexitatea a doi paşi simpli QR în timp ce numărul de operaţii necesar
pentru execuţia unui pas dublu QR, datorită calculului explicit al matricei M, este
de ordinul O(n 3 ). Aceasta înseamnă că forma explicită a pasului dublu QR nu este
optimală. Refacerea complexităţii la O(n 2 ) este posibilă (dar nu apare în mod simplu),
iar varianta de calcul este cunoscută sub denumirea de varianta cu deplasare
implicită şi este utilizată în toate implementările profesionale ale algoritmului QR
pentru matrice reale.
C. Ideea algoritmului QR cu deplasare implicită
Scopul fundamental al dezvoltării variantei cu deplasare implicită a algoritmului
QR este reducerea complexităţii unui pas dublu QR aplicat unei matrice reale
în formă superior Hessenberg la nivelul complexităţii a doi paşi simpli QR. Deşi,
principial, există toate motivele ca acest lucru să fie posibil, aspectele tehnice sunt
departe de a fi triviale. Algoritmul QR cu deplasare implicită datează din anul
1961 şi a fost propus de J.G.F. Francis [26] şi V.N. Kublanovskaia [39].
Conform celor prezentate mai sus referitor la pasul dublu QR, matricele H k
şi H k+2 = ˘Q T k H k ˘Q k au structura superior Hessenberg şi sunt ortogonal asemenea.
Şansele de a găsi o cale alternativă de calcul a matricei succesor H k+2 şi, eventual,
a matricei de transformare asociate, sunt legate nemijlocit de evidenţierea gradelor
de libertate existente. Având în vedere această observaţie, suntem interesaţi de
condiţiile în care transformarea care defineşte un pas QR este unică sau poate fi
restrânsă la o clasă bine precizată.
Pentru început, observăm că, în general, matricea unitară Q k care defineşte
relaţia de asemănare dintre matricele superior Hessenberg H k şi H k+1 din şirul QR
nu este unică. Într-adevăr, fie V ∈ IC n×n o matrice unitară arbitrară. Aplicarea
algoritmului HQc matricei V H H k V conduce la obţinerea unei matrice superior
Hessenberg unitar asemenea cu H k şi care depinde de alegerea lui V.
Restrângerea transformărilor la o clasă de transformări, ”echivalente” din punctul
de vedere al convergenţei către forma Schur, va fi făcută pentru matricele superior
Hessenberg ireductibile 21 definite mai jos.
Definiţia 4.6 O matrice n × n complexă sau reală H superior Hessenberg se numeşte
ireductibilă dacă are toate elementele subdiagonale nenule, i.e.
h j+1,j ≠ 0, j ∈ 1 : n−1. (4.134)
Pentru matricele superior Hessenberg ireductibile prezentăm teorema următoare.
21 Problema calculului valorilor proprii ale unor matrice superior Hessenberg reductibile se
reduce la calculul valorilor proprii ale unor matrice superior Hessenberg ireductibile de dimensiuni
mai mici (vezi mai departe).