Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 323
element al vectorului g (convergenţă cubică!) şi evoluţia întregii matrice T către o
structură diagonală.
✸
La fel ca şi în cazul nesimetric, diminuarea modulului elementelor vectorului g
are loc are loc mai rapid la cele două ”capete” (cel mai rapid în zona terminală,
vezi tabelul 4.7). În cadrul unui algoritm global, iterarea schemei de calcul de mai
sus se completează cu anularea efectivă a elementelor extradiagonale ale matricei
curente T, i.e. ale vectorului g, atunci când acestea devin inferioare, în modul, unei
toleranţe precizate. Prin urmare, pasul QR simetric de mai sus se ajustează la
dimensiunea curentă a problemei, pe măsură ce se pun în evidenţă valorile proprii
calculate. O modalitate concretă de gestionare a valorilor proprii calculate va fi
prezentată în cadrul algoritmului QR simetric cu deplasare implicită. Un algoritm
de calcul, bazat pe iterarea pasului QR simetric de mai sus, se termină, evident, în
momentul în care toate elementele vectorului g au fost declarate nule.
B. Un pas QR simetric cu deplasare implicită
Considerăm important să subliniem de la început faptul că, spre deosebire de cazul
real nesimetric, aici utilizarea variantei cu deplasare implicită nu aduce un spor de
eficienţă faţă de varianta cu deplasare explicită, astfel încât preferinţa pentru deplasarea
implicită poate fi justificată numai prin dorinţa asigurăriiunei omogenităţi
a tratării tuturor problemelor de calcul al valorilor proprii ale matricelor reale.
Varianta cu deplasare implicită a algoritmului QR simetric are la bază teorema
4.15 conform căreia transformarea ortogonală de asemănare definită de un pas QR
simetric cu deplasare explicită pentru o matrice tridiagonală ireductibilă (i.e. cu
toate elementele subdiagonale nenule)
T ← T ′ = Q T TQ (4.287)
este esenţial determinată, în sensul observaţiei 4.6, de prima coloană a matricei
de transformare Q. Similar cazului deplasării explicite, vom considera matricea
ortogonală de transformare Q sub forma secvenţei de rotaţii plane (4.286). Întrucât
P j,j+1 e 1 = e 1 , j = 2 : n − 1, prima coloană a matricei Q este prima coloană a
matricei P 12 , i.e.
⎡ ⎤
c 1
−s 1
⎢ 0 ⎥
q 1 = Qe 1 = P 12 e 1 =
⎢
⎣
.
0
. (4.288)
⎥
⎦
La fel ca în cazul nesimetric, un pas QR simetric cu deplasare implicită va consta
din următoarele transformări.
1. Se calculează prima coloană q 1 a matricei de transformare Q din
pasul QR simetric cu deplasare explicită.
2. Se determină rotaţia P 12 ce satisface (4.288).
3. Se calculează matricea T ← P T 12 TP 12 în care este alterată structura
tridiagonală în poziţiile (3,1) şi (1,3) dar se conservă simetria.