Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 479
(H,T)←(HZ (2)
1 ,TZ(2)
⎡
1 )=( ⎢
⎣
× ×
× ×
+ ×
+ +
0 0
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
0 × ×
⎤ ⎡
,
⎥ ⎢
⎦ ⎣
× ×
∅ ×
0 0
0 0
0 0
× × ×
× × ×
× × ×
0 × ×
0 0 ×
⎤
),
⎥
⎦
(H,T)←(Q (3)
2 H,Q(3)
⎡
2 T)=( ⎢
⎣
× × × × ×
× × × × ×
∅ × × × ×
∅ + × × ×
0 0 0 × ×
⎤ ⎡
,
⎥ ⎢
⎦ ⎣
× × × × ×
0 × × × ×
0 + × × ×
0 + + × ×
0 0 0 0 ×
⎤
),
⎥
⎦
etc. Se observă că s-a obţinut deplasarea cu o poziţie spre dreapta jos a celor două
grupuri de elemente alterante, proces care poate fi continuat până la eliminarea lor.
Aplicarea reflectorului U = U T care asigură prima coloană impusă a matricei
de transformare corespunzătoare pasului QR curent pentru matricea HT −1 şi apoi
refacerea structurii Hessenberg generalizate cu ajutorul variantei adaptate a algoritmului
HTQZ, dată de schema de calcul de mai sus, conduc la obţinerea perechii
succesor
H ← H ′ = Q (2)
n−1 Q(3) n−2···Q(3) 1 UHZ(3) 1 Z(2) 1 ···Z (3)
n−2 Z(2) n−2 Z(2) n−1
T ← T ′ = Q (2)
n−1 Q(3) n−2···Q(3) 1 UTZ(3) 1 Z(2) 1 ···Z (3)
n−2 Z(2) n−2 Z(2) n−1
(6.66)
dinşirulQZ.PrimacoloanăamatriceiU nuesteafectatădemultiplicarealadreapta
cu matricea Q (3)
1 ···Q (3)
n−2 Q(2) n−1 .
Ţinând seama de (6.61), (6.63) calculul economic al vectorului de deplasare
implicită se poate face cu următorul algoritm.
Algoritmul 6.6 (VD2 – Calculul vectorului de deplasare implicită
pentru un pas dublu QZ) (Date o pereche (H,T) ∈ IR n×n × IR n×n în
formă Hessenberg generalizată cu T nesingulară algoritmul calculează
vectorul w ∈ R 3 de deplasare implicită pentru un pas dublu QZ.)
1. Se calculează σ şi π cu relaţia (6.61).
2. α = h 11
, β = h 22
, γ = h 21
, δ = γ , η = α−δt 12 −σ
t 11 t 22 t 11 t 22
⎡
3. w = ⎣ αη +δh ⎤
12 +π
γ(β +η) ⎦
δh 32
Comentarii. Sintaxa de apel a a acestui algoritm va fi
w = VD2(H,T),
iar complexitatea sa rămâne, evident, O(1).
✸