Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
272 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII<br />
”deflaţiedepermutare”, i.e. printr-otransformaredeasemănaredefinită deomatrice<br />
de permutare elementară P 1i 27 , respectiv P in . Evident, acest proces poate continua<br />
examinând matricea rămasă A(2 : n,2 : n) sau A(1 : n−1,1 : n−1). Pentru<br />
a <strong>si</strong>stematiza procesul de căutare şi permutare vom deplasa mai întâi liniile cu<br />
elementele extradiagonalenule în jos (i.e. pe ultima linie a matricei rămasecurente)<br />
conformschemeiprezentatemaijos. Pentruclaritate, utilizăminstrucţiunea”break<br />
i”pentruieşireaforţatădinciclul”pentrui = ...”, variabiladeindexareirămânând<br />
cu valoarea avută în momentul ieşirii din ciclu.<br />
1. Pentru l = n : −1 : 1<br />
1. Pentru i = l : −1 : 1<br />
1. Dacă elementele extradiagonale ale liniei i ale matricei A(1 : l,1 : l)<br />
sunt nule atunci<br />
1. Se permută liniile i şi l ale matricei A<br />
2. Se permută coloanele i şi l ale matricei A<br />
3. break i<br />
altfel dacă i = 1 (i.e. nu există nici o linie a matricei A(1 : l,1 : l)<br />
cu toate elementele extradiagonale nule) atunci<br />
1. break l<br />
Se obţine o matrice având structura<br />
Ǎ = P T 1 AP 1 =<br />
[ ]<br />
Ǎ11 Ǎ 12<br />
, (4.161)<br />
0 Ǎ 22<br />
cuǍ11 ∈ IC l×l fărănicioliniecutoateelementeleextradiagonalenuleşiǍ22 superior<br />
triunghiulară. Matricea de permutare P 1 cumulează toate permutările efectuate.<br />
Procedând <strong>si</strong>milar cu matricea Ā11 prin deplasarea coloanelor cu toate elementele<br />
extradiagonale nule spre stânga (i.e., la fiecare pas, în prima coloană a<br />
matricei ”rămase”) se obţine în final o matrice cu structura<br />
⎡ ⎤<br />
à 11 à 12 à 13<br />
à = P T AP = ⎣ 0 à 22 à 23<br />
⎦, (4.162)<br />
0 0 Ã 33<br />
cu Ã11, à 33 superior triunghiulare şi à 22 fără nici o linie şi nici o coloană cu toate<br />
elementele extradiagonale nule. Matricea de permutare P cumulează permutările<br />
efectuate.<br />
Elementele diagonale ale matricelor Ã11 şi à 33 sunt valori <strong>proprii</strong> ale matricei A<br />
careau fost puse în evidenţă fără a efectua nici o operaţie aritmetică. Pentruaflarea<br />
celorlalte valori <strong>proprii</strong> algoritmul QR se aplică numai blocului à 22 . Dacă pe lângă<br />
calculul <strong>valorilor</strong> <strong>proprii</strong> se urmăreşte şi calculul <strong>vectorilor</strong> <strong>proprii</strong>, atunci trebuie<br />
reţinută matricea de permutare P (de obicei, în formă factorizată, prin reţinerea<br />
27 Amintim că matricea de permutare elementară P ij se obţine din matricea unitate prin permutarea<br />
liniilor (sau coloanelor) i şi j. Premultiplicarea (postmultiplicarea) unei matrice cu P ij<br />
are ca efect permutarea liniilor (coloanelor) i şi j.
Change language