Calculul valorilor si vectorilor proprii

244 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
A. Algoritmul QR cu deplasare explicită
PresupunemcămatriceaH ∈ IC n×n areostructurăsuperiorHessenberg. Algoritmul
QR cu deplasare explicită construieşte un şir de matrice
H = H 1 ,H 2 ,···,H k ,H k+1 ,··· (4.109)
pe baza relaţiei de recurenţă
{
Hk −µ k I n = Q k R k
H k+1 = R k Q k +µ k I n
, k = 1,2,···, H 1 = H, (4.110)
unde scalarul µ k , denumit deplasare, este folosit pentru asigurarea convergenţei. În
prima relaţie (4.110) matricea H k −µ k I n este factorizată QR, i.e. scrisă sub forma
unui produs dintre matricea unitară Q k şi matricea superior triunghiulară R k (vezi
cap.3). În relaţia a doua din (4.110) matricea succesor H k+1 se obţine înmulţind
matricele Q k şi R k în ordine inversă şi anulând deplasarea prin adunarea matricei
µ k I n . Şirul (4.109), generat de (4.110), este denumit şirul QR. Corespunzător,
tranziţia H k → H k+1 se numeşte un pas sau o transformare QR.
Principalele proprietăţi ale şirului QR sunt date de următoarea propoziţie.
Propoziţia 4.3 a) Dacă matricea iniţială H 1 = H a şirului matriceal QR este
superior Hessenberg, atunci toate matricele şirului au aceeaşi structură. Altfel spus,
structura Hessenberg este invariantă la transformările QR.
b) Toate matricele şirului QR sunt unitar asemenea şi, prin urmare, au acelaşi
spectru de valori proprii.
În cazul real afirmaţiile de mai sus rămân valabile dacă în locul operatorului
hermitic, de transpunere şi conjugare, se utilizează operatorul de transpunere.
Demonstraţie. a) Dacă H k din (4.110) este o matrice superior Hessenberg, aceeaşi
structură o are şi matricea H k −µ k I n . Algoritmul de factorizareQR (v. cap.3) aplicat
matricei superior Hessenberg H k −µ k I n produce o matrice unitară Q k superior
Hessenberg 17 . Întrucât R k este superior triunghiulară rezultă că matricea unitară
Q k este, de asemenea, superiorHessenberg. Cum produsul dintreomatricesuperior
triunghiulară şi o matrice superior Hessenberg este o matrice superior Hessenberg
(verificaţi!) rezultă că R k Q k este superior Hessenberg şi, evident, aceeaşi structură
o are şi matricea H k+1 . Prin inducţie, dacă H 1 = H este superior Hessenberg,
atunci toate matricele H k ,k = 2,3,... sunt matrice superior Hessenberg.
b) Din prima relaţie (4.110) avem
R k = Q H k (H k −µ k I n ), (4.111)
care, introdusă în cea de a doua relaţie (4.110), conduce la
H k+1 = Q H k (H k −µ k I n )Q k +µ k I n = Q H k H kQ k , (4.112)
17 Dacă µ k ∉ λ(H k ) (care este cazul curent), atunci matricea superior triunghiulară R k este
nesingulară şi matricea Q k este, în mod necesar, superior Hessenberg.