Calculul valorilor si vectorilor proprii

510 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
1. Pentru k = 1 : m
1. s ← (k −1)r +1
2. f ← kr
3. A(s : f,s : f) ← A(s : f,s : f)−L(s : f,1 : s−1)·L T (1 : s−1,s : f)
4. Utilizând CHOL, calculează factorizarea Cholesky
A(s : f,s : f) = L(s : f,s : f)·L T (s : f,s : f)
(blocul L(s : f,s : f) se memorează în triunghiul inferior al lui A(s : f,s : f))
5. A(f+1 : n,s : f) ← A(f+1 : n,s : f)−L(f+1 : n,1 : s−1)·L T (1 : s−1,s : f)
6. Rezolvă sistemul superior triunghiular ZL T (s : f,s : f) = L(f +1 : n,s : f)
7. L(f +1 : n,s : f) ← Z
În instrucţiunea 1.3 se utilizează SYRK, în 1.5 GEMM iar în 1.6 TRSM. Transpunerea nu se
efectuează explicit, ci se pasează rutinelor BLAS.
P2.35 T = AA T nu este deja factorizarea Cholesky deoarece elementele diagonale ale
lui A nu sunt neapărat pozitive. Fie T = LL T factorizarea Cholesky. Este natural să
încercăm să demonstrăm că L este inferior bidiagonală. Pentru orice k ∈ 1 : n−1:
t kk = a 2 k,k−1 +a 2 kk = l 2 k,k−1 +l 2 kk
t k+1,k = a k+1,k a kk = l k+1,k l kk .
De asemenea, este natural să încercăm să demonstrăm că |l ij| = |a ij|; pentru prima relaţie
de mai sus, semnele nu contează; pentru a doua, dacă a kk este negativ, luăm l kk = −a kk
şi l k+1,k = −a k+1,k . Algoritmul va fi:
1. Pentru k = 1 : n
1. l kk ← |a kk |
2. Dacă k < n atunci
1. Dacă a kk < 0 atunci l k+1,k ← −a k+1,k
altfel l k+1,k ← a k+1,k
P2.36 Algoritmul CHOL pentru matrice bandă de lăţime r este
1. Pentru k = 1 : n
1. α ← a kk − ∑ k−1
j=max(1,k−r) l2 kj
2. Dacă α ≤ 0 atunci
1. Afişează(’A nu este pozitiv definită’)
2. Stop
3. a kk ← l kk = √ α
4. Pentru i = k +1 : min(k +r,n)
1. a ik ← l ik =
(
a ik − ∑ k−1
j=max(1,i−r) lijl kj
)
/l kk
P2.37 Se procedează analog cu algoritmul CHOL. Calculele decurg în ordine inversă,
i.e. cu k = n : −1 : 1.
P2.38 Calculând pe loc în A, un algoritm direct inspirat de CHOL este
1. Pentru k = 1 : n
1. a kk ← d k = a kk − ∑ k−1
j=1 l2 kjd j
2. Pentru i = k +1 (: n
1. a ik ← l ik = a ik − ∑ k−1
lijl j=1 kjd j
)/d k