Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 299
Algoritmul 4.19 (SYLVtri - Rezolvarea ecuaţiei Sylvester triunghiulare)
(Date matricele superior triunghiulare S ∈ IC m×m , T ∈ IC n×n
cuλ(A)∩λ(B) = ∅, precumşimatriceaC ∈ IC m×n , algoritmulcalculează
soluţia Y ∈ IC m×n a ecuaţiei Sylvester SY −YT = C.
1. Pentru j = 1 : n
1. Dacă j > 1 atunci
1. Pentru i = 1 : m
1. c ij = c ij + ∑ j−1
k=1 y ikt kj .
2. Pentru i = m : −1 : 1
1. Dacă i < m atunci
1. c ij = c ij − ∑ m
k=i+1 s iky kj .
c ij
2. y ij = .
s ii −t jj
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului 4.19 este
Y = SYLVtri(S,T,C).
Complexitatea algoritmului este O(n 3 ) (sau O(m 3 )), numărul de flopi complecşi
fiind N ∗
(c) = 1 4 (m2 n+mn 2 ) înmulţiri şi N (c)
± = 1 4 (m2 n+mn 2 ) adunări şi scăderi,
echivalat cu evaluările uzuale la N = 2(m 2 n+mn 2 ) flopi reali. În cazul real, evident,
N op = 1 2 (m2 n+mn 2 ). Algoritmul fiind, în esenţă, o colecţie de rezolvări de
sisteme triunghiulare are, cel puţin în parte, proprietăţile algoritmilor de rezolvare
ale acestora. Se poate afirma că dacă spectrele matricelor S şi T sunt bine ”separate”,
i.e. în acest caz |s ii − t jj | sunt suficient de mari, atunci algoritmul este
numeric stabil. Asupra conceptului de separare a spectrelor se va reveni, într-un
context mai general, în secţiunea 4.10.
✸
Algoritmul de rezolvare a ecuaţiei Sylvester triunghiulare serveşte ca bază, conform
celor arătate mai sus, pentru rezolvarea ecuaţiei Sylvester generale. Avem
următorul algoritm.
Algoritmul 4.20(SYLVc-Rezolvarea ecuaţiei matriceale Sylvester
complexe) (Date matricele A ∈ IC m×m , B ∈ IC n×n , C ∈ IC m×n cu λ(A)∩
∩λ(B) = ∅ şi toleranţa tol, algoritmul calculează soluţia X ∈ IC m×n a
ecuaţiei Sylvester continue AX − XB = C utilizând algoritmul QR1
pentru reducerea matricelor A şi B la forma Schur. Se presupune că
algoritmul QR1 se termină normal în ambele cazuri.)
1. [S, U ] = QR1(A,I m ,tol, ′ da ′ )
2. [T, V ] = QR1(B,I n ,tol, ′ da ′ )
3. C ← ˜C = U H CV
4. Y = SYLVtri(S,T,C)
5. X = UYV H .