Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 471
5. Pentru k = 2 : n
1. [T(k,k−1 : k),c,s] = Gcm(T(k,k−1 : k))
2. l = min(k+1,n)
3. H(1:l,k−1 : k) = Gcd(H(1:l,k−1 : k),c,s)
4. T(1 : k−1,k−1 : k) = Gcd(T(1 : k−1,k−1 : k),c,s)
5. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Z(:,k−1 : k) = Gcd(Z(:,k−1 : k),c,s)
6. Dacă k < n atunci
1. [H(k : k+1,k−1),c,s] = Gc(H(k : k+1,k−1))
2. H(k : k+1,k : n) = Gcs(c,s,H(k : k+1,k : n))
3. T(k : k+1,k : n) = Gcs(c,s,T(k : k+1,k : n))
4. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Q(:,k : k+1) = Gcd(Q(:,k : k+1),c,s)
Comentarii. Vom utiliza următoarea sintaxă de apel a algoritmului de mai sus
[H,T,Q,Z] = IT QZc(H,T,Q,Z,w,opt).
Complexitateaunuipassimplu QZesteO(n 2 ). Concret, pentru execuţiaalgoritmului
6.3 sunt necesari N op ≈ 12n 2 flopi fără acumularea transformărilor, N op ′ ≈ 12n2
flopi suplimentari pentru acumulareatransformărilor,la care se adaugăcele 2(n−1)
extrageri de radical.
✸
B. Algoritmul QZ pentru matrice complexe
Provenind din adaptarea algoritmului QR algoritmul QZ utilizează toate ideile
acestuia pentru exploatarea evoluţiei structurale a elementelor şirului QZ. Concret,
algoritmul QZ pentru matrice complexe se obţine prin iterarea pasului simplu QZ,
anularea efectivă a elementelor subdiagonale ale matricei H devenite neglijabile şi,
pe această bază, reducerea succesivă a dimensiunii problemei până la obţinerea
rezultatului dorit.
Pentru deciziile de anulare a elementelor subdiagonale ale matricei H se utilizează
criteriul cunoscut de la algoritmul QR
|h k+1,k | < tol(|h kk |+|h k+1,k+1 |), (6.55)
unde scalarul pozitiv tol defineşte nivelul de toleranţă şi are, uzual, un ordin de
mărimecomparabilcueroareadereprezentaredinformatulvirgulămobilăalmaşinii
ţintă.
De asemenea, pentru monitorizarea evoluţiei structurale a matricelor din şirul
QZ,lafiecareiteraţie, dupăanulareaelementelorsubdiagonalecaresatisfaccondiţia
(6.55), se va determina cel mai mic întreg p şi cel mai mare întreg q astfel încât
perechea curentă (H,T) să aibă structura
⎡
H = ⎣ H ⎤
11 H 12 H 13
0 H 22 H 23
⎦ }p ⎡
}n−p−q , T = ⎣ T ⎤
11 T 12 T 13
0 T 22 T 23
⎦ }p
}n−p−q ,
0 0 H 33 }q 0 0 T 33 }q
(6.56)