Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 465
5. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Q(:,l−1:l) = Gcd(Q(:,l−1:l),c,s)
6. [H(l,k:k+1),c,s] = Gcm(H(l,k:k+1))
7. H(1:l−1,k:k+1) = Gcd(H(1:l−1,k:k+1),c,s)
8. Dacă l = 2 atunci
H(3,k:k+1) = Gcd(H(3,k:k+1),c,s)
9. T(1:l−1,k:k+1) = Gcd(T(1:l−1,k:k+1),c,s)
10. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Z(:,k:k+1) = Gcd(Z(:,k:k+1),c,s)
2. Dacă j > 1 atunci
1. % Ultima rotaţie din secvenţa curentă:
1. (H(j,j−1:j),c,s) = Gcm(H(j,j−1:j))
2. H(1:j−1,j−1:j) = Gcd(H(1:j−1,j−1:j),c,s)
3. T(1:j−1,j−1:j) = Gcd(T(1:j−1,j−1:j),c,s)
4. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Z(:,j−1:j) = Gcd(Z(:,j−1:j),c,s)
3. j ← j −1
4. i ← j
altfel
1. i ← i−1
Comentarii. Sintaxa cu care algoritmul de mai sus va fi apelat este
[H,T,Q,Z] = DZc(H,T,Q,Z,opt).
Complexitatea algoritmului este cel mult O(n 3 ), numărul efectiv de operaţii fiind
decisiv influenţat de numărul şi dispunerea zerourilor diagonale ale matricei T.
Utilizând exclusiv transformări unitare (ortogonale), algoritmul DZc este numeric
stabil.
În cazul real se utilizează exact aceleaşi secvenţe de rotaţii, de data aceasta
reale, ceea ce are ca efect obţinerea ca rezultat a unei perechi transformate reale,
iar efortul de calcul este sensibil diminuat. Pentru a distinge cazul real vom utiliza
sintaxa
[H,T,Q,Z] = DZr(H,T,Q,Z,opt).
Formal, varianta reală a algoritmului se obţine înlocuind în numele procedurilor
utilizate sigla c cu sigla r.
✸
6.3.3 Faza iterativă a algoritmului QZ
Etapa iterativă a algoritmului QZ construieşte un şir de perechi de matrice unitar
(ortogonal)echivalenteconvergentcătreformaSchur(reală)generalizată. În esenţă,
încazul încarematriceaB estenesingulară,iteraţiile QZreprezintăoimplementare
specifică a iteraţiilor QR pentru matricea C = AB −1 . Concret, perechea curentă
(A k ,B k ) a şirului QZ este astfel calculată încât matricea C k = A k B −1
k
sa fie matricea
curentă a şirului QR pentru matricea C. Aşa cum s-a mai precizat, eficienţa